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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fuchsiennes. 

 Note de M. II. Poincaré, présentée par M. Hermite. 



« Parmi les fonctions fuchsiennes, il en est qui jouissent de certaines 

 propriétés spéciales sur lesquelles je désire attirer l'attention. 



)) Soit un plan dont les différents points représentent la variable imagi- 

 naire z, et, dans ce plan, le cercle fondamental dont le centre est l'origine 

 et le rayon l'unité. 



» On pourra tracer dans ce plan l'axe des quantités réelles Oa? et une 

 série de cercles C,, Cj, . . ., C„, définis de la manière suivante : 



Il 1° Ils coupent tous le cercle fondamental orlhogonalement. 



» 2° I.e cercle C, coupe Ox en «, et |3, sous un angle — ■ 



)) 3° Le cercle C, coupe le cercle C,-^, en a, et /3, sous un angle li. 



11 4" Le cercle C„ coupe Ox en a,,^, et p,„., sous lui angle 



« Je suppose que chacun des angles >,, ^2» • •) ^«-hi ^st une partie ali- 

 quote de 27r et que 



(l) >.,+ 2 7.2+ 2'X3 + . . .+ 2A„-+ >>„t-i<27T(72 — l). 



Grâce à l'inégalité (i), il est toujours possible de tracer la figure que nous 

 venons de définir. 



)i Cela posé, définissons 7i~i-i fonctions de :;, z,, z.,, ..., z„+,, par les 

 équations suivantes : 



2 



Z, 



Î2— Pi Vz — h/ 



r^Lti ^:^' — e'>„+, 



2«+l — pll-hl \2 Prt^ 



)i D'après la théorie générale des fonctions fuchsiennes, exposée dans 

 un Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie dans la séance 

 du i4 février 1 881, il existera une infinité de fondions F(z), uniformes en i;, 

 n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental, méromorphes à l'inté- 

 rieur de ce cercle et jouissant de la propriété suivante : 



F(z) = F(z,j = F(z,)=... = r(z„) = F(^„^0- 



