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 » Entre deux quelconques de ces fonctions, diles fonctions Juclisiennes, 

 il y a une relation algébrique. Si, de plus, on pose 



^ = F( = ), J = \/§, 



on aura 



do-. 





(p étant algébrique en œ, de sorte que la fonction F(3) permettra d'intégrer 

 l'équation (2). 



" Quel sera le genre de la relation algébrique qui existe entre deux 

 fonctions fuchsiennes quelconque^? 



» Soient u et u deux de ces fonctions et 



(3) y(«,'0=o 



la relation qui les unit; soit enfin 



JQ{u,v) du = G{z) 



une intégrale abélienne de première espèce dérivée de la relation (z). G (s) 

 n'existera qu'à l'intérieur du cercle fondamental et sera holomorphe à 

 l'intérieur de ce cercle, On démontre que toutes les périodes doivent être 

 nulles; la relation (s) est donc du genre o et toutes les fonctions fuch- 

 siennes peuvent s'exprimer rationnellement par l'une d'entre elles. Nous 

 achèverons de détinir F(s) par les conditions suivantes : 



» 1° F(s) sera l'une des fonctions fuchsiennes à l'aide desquelles toutes 

 les autres s'expriment rationnellement. 



» 2" On aura 



F(«,)r=o, F(a2) = i, F(«3) = îc. 



Il en résultera que, dans l'équation (2), (55 sera rationnel en x et que les 

 points singuliers de l'équation (2) seront 



F(«,), F(a,), ..., F(a„), F(a„,,)- 



De plus, la fonction F(s) reste réelle tout le long des cercles C,, G., .. . , 

 G„, et, par conséquent, les points singuliers de l'équation (2) sont tous 

 réels. Enfin on peut profiter des éléments qui restent indéterminés de telle 

 sorte que F(a,), F(a2), •••, F(a„H,) deviennent respectivement égaux à 

 « -f- 1 nombres réels quelconques donnés. 



» Dans le cas particulier où «= 2, l'équation (2) se réduit à l'équa- 



