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 les rencontre dans l'ordre que je viens d'indiquer, en suivant le cercle 

 dans le sens positif; ces points devront satisfaire à la condition suivante. 

 Je joins le point /3, k §,, ^3, ..., /3„ par des cercles y,, y,, ..., y„ normaux 

 au cercle fondamental ; je joins de même /3, à [S,, jSj à /3^, . . ., |3„_, à /3„ 

 par des cercles §,, ô,, ...,(?„ normaux au cercle fondamental; par les 

 points a,, «o, ..., a„ je mène des cercles C,, C., ..., C„, coupant ortliogo- 

 nalement le cercle fondamental et normaux respectivement à y,, §3, ô^, ..., 

 ^«> 7«; par l'intersection de C, et C^ je mène un cercle D,, normal au cercle 

 fondamental et à yj ; par l'intersection de C3 et de D3 je mène D^, normal 

 au cercle fondamental et à y^, etc. : D„ devra passer par «„ et se réduire, par 

 conséquent^ à C„. Je définis n fonctions de z par les équations 



(i= I, 2, ..., n). 



» Il existera une infinité de fonctions uniformes dez telles que 



F{z]=F{z,) = F{z,) = ...= F{z„), d'où F(/3,) = F(/3,)=...= F(|3„). 



» Toutes s'expriment rationnellement par une d'entre elles que j'ap- 

 pelle F(z) et quej'achève de définir par les conditions 



F(o:,) = o, F(a,,) = i, F(«3) = oo. 



» Cette fonction sera holomorphe à l'intérieur du cercle fondamental; 

 elle ne pourra, à l'intérieur de ce cercle, devenir égale à aucun des 

 nombres 



(i) F(a,), F(a,), ..., F(«„), F(|3,). 



» Si donc, dans une équation linéaire à coefficients rationnels en x 

 n'ayant d'autres points singuliers que les nombres (i), on substitue Y{z) à 

 la place de J7, l'intégrale sera une fonction zétafuchsienne de z. 



» F(z) dépend de 2n — 3 paramètres, à savoir les rapports anharmo- 

 niques de «4, a-, .. ., a„, (3,, /Bj, . . ., |3„ par rapporta a,, 0.2, «3; à cause de 

 la condition énoncée plus haut, il reste 2« — 4 paramètres indépendants. 

 En exprimant que les parties réelles et imaginaires de 



F(«,), F(a,), ..., F(aJ, F(|3,) 



ont des valeurs données, on a 2« — 4 équations qui déterminent ces 2« — 4 

 paramètres. 



» Si j'arrive à démontrer que ces équations ont toujours une solution réelle, 



