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 j'aurai montré que toutes les équations linéaires à coefficients algébriques s'in- 

 tègrent par les transcendantes fuchsiennes et zétafuchsiennes. 



» Je voudrais donner quelques éclaircissements sur ma précédente Com- 

 munication. J'y parle de la fonction F(3) quand tous les X sont nuls: 

 j'entends la limite de F(:;) quand tous les 1 tendent vers o J'ai dit que les 

 quantités F(a,), F{c(i), ..., F(a„4.,} peuvent prendre des valeurs réelles 

 quelconques : cela n'est vrai que quand tous les X sont nuls. 



» Une dernière remarque : j'ai fait voir que les coordonnées d'un point 

 d'une infinité de courbes algébriques s'expriment par des fonctions fuch- 

 siennes d'un même paramètre (de même que les coordonnées d'un point 

 d'une courbe de genre o s'expriment par des fonctions rationnelles et 

 celles d'un point d'une courbe de genre i par des fonctions elliptiques) : 

 parmi les courbes qui jouissent de cette propriété, il y en a de tous les 

 genres possibles; mais je ne sais pas encore si celte propriété appartient à 

 une courbe algébrique quelconque. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Relations algébriques entre tes sinus supérieurs 

 d'un même ordre. Note de M. Rouyaux, présentée par M. Yvon 

 Villarceau. 



« Avec M. Yvon Villarceau, je désignerai par <pa, <pi, 92, ..., f„_i les 

 71 sinus du n'*"" ordre ( ' ) ; quand il y aura lieu de distinguer les sinus hyper- 

 boliques des sinus elliptiques, les premiers seront désignés par la lettre f et 

 les seconds par la lettre y. Je prends pour définition des sinus d'ordre n les 

 formules 



Og = e^='. + g'^". + . . . -I- e'«/ -4- . . . + p^"» -1- . . . + e^"", 

 ± o, = a'[-' e^". -(-. . . + «;- ' e*'"' + . . . -f- <-'«"' + •• •+«;;-' e'""", 

 ± ço = a",'' e-'"'. -f- ...+ <-- e^"^ + ... + aT^ e^'» + . , . 4- a^- 1 e^«„, 

 • 1 



dans lesquelles les signes supérieurs des premiers membres répondent aux 

 sinus hyperboliques, les signes inférieurs répondant aux sinus elliptiques, 

 et, dans les seconds membres, a,, a,? •••,«/,•••, «a, ■• •> «« désignent les 

 racines de r" dz i = o, suivant qu'il s'agit du genre hyperbolique ou ellip- 

 tique. Multiplions la première équation par «•' , la deuxième par «y, la troi- 



( ') M. Rouyaiix augmente d'une unité les ordres adoptés par ses pradécesseurs. (Y. V.) 



