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 sième par af , etc., et ;ijoutoiis, après avoir divisé |);ir ti\ il vient 



9oa, ir:ï),!z;±'^,a; 



.±?„- 



rt e" 



-y 



v" - < 



«a)- 



» En se fondant sur les propriétés bien connues des racines des équa- 

 tions r"± I = o, on reconnaît tacileaient que, dans le second membre, le 

 factetn- entre parenthèses est nul; en remplaçant enfin a'I par ±i, on 

 trouve la relation 



(0 



Po H- 'f I «y -t- 'f , a; + 9, a; -(- . 



?«-.^< 



qui est capitale, et va nous donner facilement toutes les relations algé- 

 briques que nous avons en vue. 



» Tout d'abord donnons à l'indicey les ii valeurs r, 2, 3, . ., «, et mul- 

 tiplions membre à membre les équations obtenues ainsi; on trouve 



(A) n^?»"^ 'f,c</4-9.,a/ 



n 



) = Yi ^'"'' = ^■''""^ = e» = I , 



/-i 



ce qui est une relation algébrique applicable, quel que soit l'ordre «, 

 et qui, dans le cas où n est un nombre premier, est une relation irréduc- 

 tible, et la seule d'ailleurs que nous ayons pu trouver. En vertu d'une pro- 

 priété du déterminant, quand les «, sont les racines de /-" — i = o et que par 

 conséquent les fonctions 9 sont les sinus hyperboliques, la relation (A) peut 

 se mettre sous la forme (A') ci-dessous; quand les «y sont les racines de 

 r"-i- I = o et que « est impair, on a «y, r.icine de /"-f-i^o, égal à 

 — oy, racine de /•"— 1 = o, et la relation peut prendre la forme (A") ci- 



=: I. 



» Quand l'ordre n n'est pas un nombre premier, il existe d'autres le- 



C. R., 1S81, I" Semestre. (T. XCll, K" 22.) 



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