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 lations algébriques dont celles-ci ne sont alors que des conséquences. 

 Nous allons chercher ces relalions. 



» n lion preinieret j)airj7i= 2/?k— Dansce cas, les quantités «y sont deux 

 à deux égales et de signes contraires, et la relation fondamentale (i), à 



chacun des - groupes de ces racines opposées, donne 



<?o + ?. «; + ?2 a/ + 93 «/ + ... + 9„_, u" ' = e^*^ 



fo — ?, <yj + o.c/.f — 93 «/ + ... — o„_, «;-' = e-^^J, 



d'où l'on tire, en multipliant 





(B) ((?''+ '^= '^' + '>^^ «;+...+ 9„-. <■ , 



ce qui fournit - relations algébriques en donnant à «y les valeurs des ra- 

 cines distinctes de /-"dz i = o. 



» La relation (A) résulterait manifestement, dans ce cas, de la multipli- 

 cation des- relations (B) les unes par les autres. 



» n non premier et non pnir;n = pqr. . . . — Supposons n décomposé en 

 ses facteurs premiers /;, q, r, que cette fois nous supposons tous impairs. 

 Si /3y désigne luie quelconque des racines de /^ — i = o ou i-p+ i = o, celte 

 quantité est aussi racine de r'"''' — i = o ou /-p*' '+ i = o; par conséquent, 

 on peut lui appliquer la relation (i), qui, en tenant compte des relations 



ftp ft,2;' — Û3i' . — — , \ 



P/ —l-'j — Py ' 



/3p' = |3/''+' =/5f"-' = . . . = /5y (fiy, racine de /•" — i = o), 



^r=^r'= =P; 



|5; =/3/" =/B/" =... = -1 



jS/" = p/" = ^f ==... = + I Ufij, racine de /•" + i = o), 



P;- = p/"- = p;^-' = ... = _/5; ) 



devient 



(?o ± ?/> + 92P ± r-»/- + •••) + Py (?. ^ 9p^> -+- 9=/.-< ± • • •) 



+ Pf (92 ± 9/>^-2+ ?2y,+2± ■ ..)-+-••■= e''^ 



puis, en donnant à j l'indice i, 2, 3, ...,/> et en faisant le produit, 



/' 





