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 sur les sinus [Comptes lendiis des i3, 20 el 27 uiai 1878, formule (8)], on 

 obtiendrait sans difticullé l'un des sinus de la somme des arguments. 



» Sans ni'arrêter à celle expression ou à celle d'un multiple d'un argu- 

 ment qui poinrait prendre alors une forme différente, je vais indiquer une 

 autre propriété importante des sinus. Soient p,, pn, . . . , p,„ les m racines de 

 l'équation (i), on a 



( 2 ) gr;p,+(>.,+...^ p„) _ ^xp, _ gsp, _ _ ^ f,rç.„ _ 



La formule de M. Yvon Villarceau déjà citée peut s'écrire 



fP'' = Ço a: + py , JT + p- '^o .r + . . . + p'"' 'j,„_, .r, 

 ou encore, en faisant varier l'indice p. de o k m — i , 



(3) p^'^J^p^f^œ; 



çi„ar est le cosinus et çi,a?, (po^", ■ • • sont les m — i sinus. 



» En substituant l'expression (3) de l'exponentielle dans l'égalité (a), cii 

 obtient 



» Poiu' effectuer le produit du second membre, je me servirai de sommes 

 particulières que Waring a employées autrefois dans le Cnicul des fonctions 

 symétriques ; ces sommes ont inie grande im|)ortance; je les noterai par la 

 caractéristique Agr, abrévintion iVacjrégnl, comme je l'ai déjà fait. Donc, en 

 désignant par /fl, A",, ... ,/•,„_, des indices de sinus, le produit en question 

 sera la somme de quantités telles que 



les indices k varieront ensemble ou séparément de o à m — i, L'égaliié 

 cherchée pourra donc s'écrire 



(4) 1 = Agr^o,.jr.ç5,,.r. . . o ,,„^,x'^p\' p'- . ..p';;r')- 



» Il reste à évaluer la fonction symétrique des raciues de l'imité qui 

 figure ici. On sait qu'elle est nulle si la somme des exposants n'est pas un 

 multiple de m; par suite, il faut ajouter à l'expression (4), comme condi- 

 tion relative aux indices A", 



(5) /oH- A, + .. .-+- A,„= A/H, 



