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 De même, si pour une valeur déterminée z — ù, et en suivant un chemin 

 d'une étendue finie, Ç acquiert une de ces valeurs que je viens de désigner 

 par Y, je suppose aussi qu'au moins une des intégrales fj\z)dz, f (p[z)dz 

 devient infinie pour z = b, 



» Cela étant, je me propose de trouver les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que les fonctions z,, z^ des variables indépendantes u,, u^, 

 définies par les équations 



1 rj{z)dz+rf{z)dz=u„ 



/ / f[z)dz-\-j f[z)dz = u^ 

 \ Js, Js, 



satisfassent à une équation du second degré dont les coefficients soient 

 uniformes pour toutes les valeurs finies des variables u,, ii... 



» Les fonctions s,, s, ne pourraient cesser d'être holomorphes que 

 lorsque m,, «2 deviennent égales respectivement aux valeurs i»,, v^ pour 

 lesquelles l'une ou l'autre des quantités s,, [z^ devient infinie ou égale à 

 un des points critiques des fonctions /(s), 9(3), ou bien quand un des 



quotients Ç, = JA-, ^2 = 77-^ acquiert une valeur 7 indépendante de s, 



ou Zny ou enfin lorsque les quantités s,, s, sont liées par l'équation 



(B) f{z;)rf[z,)-f[z,)^{z,)^0. 



Mais ici l'on doit faire une remarque importante, qui constitue une dis- 

 tinction caractéristique entre les fonctions d'une seule variable et celles 

 de plusieurs variables, et dont il suffit de donner l'explication pour notre 

 exemple. Ou les valeurs de 3,, ^2 qui correspondent aux valeurs ?<, = (»,, 

 i/2 = r2 peuvent être atteintes quels que soient les derniers éléments des 

 chemins par lesquels les variables u^y u^ tendent aux points c,, k\ : alors 

 les points i',, v.^ peuvent être des points de ramification des fonctions 

 3, + 3o, z^z.^ de i^i, u.,y c'est-à-dire qui ont la propriété que, z^,, «2 tour- 

 nant autour de f,, i'o, les fonctions z^ + z^yZ^z^ changent de valeurs. 

 Ou ces valeurs de r,, z^ ne peuvent être atteintes qu'en supposant une 

 relation entre les derniers éléments des chemins de u^, u^. '■ alors les points 

 t',, i)., ne peuvent être que des points d'indétermination, mais non de rami- 

 fication, parce que l'on suppose que les variables u,^ u^ sont indépendantes 

 l'une de l'autre. » 



