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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les expressions des coordonnées d'une courbe 

 algébrique par des fonctions fuchsieiines d'un paramètre. Note de M. Ë. 

 Picard, présentée par M. Hermite. 



« On connaît les intéressantes recherches de M Poincaré sur les fonc- 

 tions uniformes, considérées seulement par M. Fuchs dans quelques cas 

 particuliers, et qui peuvent s'obtenir par l'inversion du quotient de deux 

 intégraies d'une équation linéaire du second ordre. M. Poincaré partage 

 ces fonctions en différentes classes, suivant le groupe fuchsien auquel elles 

 appartiennent, et établit qu'entre deux fonctions fuchsiennes correspondant 

 à un même groupe existe une relation algébrique. Prenant en quelque 

 sorte la question inverse, je voudrais indiquer une marche à suivre pour 

 reconnaître si l'on peut exprimer les coordonnées u et v d'un point quel- 

 conque d'une courbe algébrique donnée 



(I) Y{u,v) = o 



par des fonctions fuchsiennes d'un paramètre correspondant à un groupe 

 fuchsien doinié. 



» Je prendrai pour point de départ une proposition dont j'ai déjà fait 

 usage dans une autre occasion. Si m et ç» sont deux fonctions méromor|)hes 

 d'une variable z dans une certaine région du plan, liées par la relation (I), 



I expression „, , — r-, / étant tel que I ^^, — ^soit une intégrale de pre- 



mière espèce, est uniforme et continue dans cette région. Nous écrirons 

 donc ici 



-, .du 



et G(z) n'aura de points singuliers que sur le cercle fondamental. Cela 



, (IZ-'r b 



pose, , repi 



donné, on aura 



posé, représentant une substitution quelconque du groupe fuchsien 



(II) g(^) = (cz + ^j^G(.). 



» Or nous allons voir que cette relation sert à définir la fonction G à un 

 nombre déterminé de constantes près. Remarquons tout d'abord qu'à Fin- 



