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térieur de tout polygone curviligne R du réseau correspondant au groupe 

 fuchsien ('), toute fonction G{z) satisfaisant aux conditions (II) aura un 

 nombre n de racines, nécessairement déterminé, quand le groupe est 

 donné. Or, soient maintenant 



Go(z), G, (s), ..., G„( = ) 



n + 1 fonctions satisfaisant aux^ équations (II), et entre lesquelles il 

 n'existe pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants; G(z) 

 aura nécessairement la forme 



G(=) = A„G„(^) + A,G,(=)+...-t-A„G„(r.), 



où les A sont des constantes. Soient, en effet, z,, z.,, ■ ■ -, z„ les racines de 

 G(s)dans un polygone R; on peut choisir les constantes A de manière que 

 l'expression AoGo(z) -4-. . .-t- A„G„(z) s'annule précisément pour z^, 

 z^, ..., z„, et l'on voit de suite que le quotient 



G(z):AoGo (:;) + ... 4- A„G„( = ), 



étant une fonction fuchsienne holomorphe, se réduit à une constante. 



» Ce point étant admis, remarquons en passant que le nombre n devra 

 nécessairement être au moins égal au genre de la relation (I). Supposons 

 d'abord que celle-ci soit du second genre; nous pouvons nous borner 

 alors à considérer l'équation 



v'^ = {u — a,){u — a^)- ..{u — a^), 



car on sait que toute courbe du second genre correspond point par point à 

 une courbe hyperelliptique du même genre, convenablement choisie [voir, 

 par exemple, Schwarz, Journal de Liouviile, i88o). Nous avons, dans ce 

 cas, 



du ^f^ 



^=:A„G„(=)+... + A„G„(-), -^=BoG„( = ) -+-... +B„G„(;j), 



les A et les B étant des constantes, et nous tirons de ces équations la forme 



de u, 



^^^ B„G„(r)-)-... + B„G„(î) 



AoGJz) -(-...-+-A„G„(z) 



(1) Je suppose expressément le groupe fuchsien tel qu'aucun point du périmètre d'un 

 polygone R ne soit situé sur le cercle fondamental. 



