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 ') Cette forme obtenue, il reste à voir si l'on peut déterminer les con- 

 stantes A et B de manière que le» équations 



aient toutes leurs racines d'un degré pair de multiplicité : c'est ce à quoi 

 l'on parviendra en formant l'équation linéaire du second ordre donnant u 

 par l'inversion du quotient de deux intégrales, car il suffira alors d'écrire 

 que rt(,^2» ■ •) <^5 sont des points singuliers de cette équation linéaire 

 et d'étudier, d'après les principes connus, la forme du quotient de deux 

 intégrales dans le voisinage de ces points. Il est évident qu'une méthode 

 toute semblable est applicable si la relation (I) est une relation hyperel- 

 liptique quelconque. 



» Dans le cas général, on pourra procéder delà manière suivante. Nous 

 supposons le genre de la relation (I) au moins égala 3. Prenant alors trois 

 intégrales de première espèce, nous avons 



n II II 



KÎ^)Tz-Z^'^'''^' Kî^]'^-!^'^''^'''' n(^)^-Z^'^'^^^' 







équations d'où l'on tire 



(III) 



f,(u,p) SA,G, /,(«,.') lA,Oj 



auxquelles j'adjoins F{u, v) = o. 



)) Désignons par X et ]x les seconds membres des deux premières 

 égalités (III). Si l'on élimine u et m entre les relations (III), on aura une 

 équation entre X et [x. Mais, X et |u étant deux fonctions fuchsiennes, on 

 peut former d'autre part l'équation algébrique qui les lie; on devra pouvoir 

 choisir les constantes A, B, C de manière que ces deux équations coïn- 

 cident. D'ailleurs on pourra, en général, exprimer rationnellement u et i> 

 en fonction de X et ^, et l'équation F(w, «')=:o se trouvera bien alors 

 vérifiée par des fonctions fuchsiennes de z. 



» On voit que nous laissons ici de côté les cas spéciaux où les équa- 

 tions (III) ne permettraient pas d'obtenir u et i> rationnellement en X 

 et p.. » 



