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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des fondions uniformes. 

 Note de M. H. Poincaré. 



« Si F(z) est une fonction uniforme de z, il pourra se faire ou qu'elle 

 existe dans tout le plan, ou seulement dans une certaine région que j'ap- 

 pellerai la région S; si la fonction existait dans tout le plan, la région S 

 s'étendrait dans tout le plan. A une même valeur de F(z) correspondront 

 une infinité de valeurs de z. Envisageons toutes ces valeurs comme fonc- 

 tions de l'une d'entre elles que nous appellerons 2, et appelons-les 



ces fonctions forment un groupe, et l'on a évidemment 



r[/;.(.)] = F(.). 



La région S va se trouver partagée en une infinité de régions 



Ro, R|, Ro, . .., R/ 



telles que, si z parcourt la région Ro, /,(^) parcourra la région R, : c'est 

 dire que l'on ne pourra, en général, disposer de i de telle façon que le 

 module àefi[z) — z soit aussi petit que l'on veut. 



w Nous dirons alors que le groupe (i) est discontinu. 



» À fortiori, tout groupe contenu dans le groupe (i) sera discontinu. 



» Nous dirons que la fonction uniforme F(3) admet le groupe (i); nous 

 dirons aussi qu'elle admet tout groupe contenu dans le groupe (i). 



» En résumé, un groupe de fonctions 



f,{z),Mz), ...,Mz) 



sera discontinu si l'on peut diviser le plan ou une partie du plan en régions 

 Ro, R,, ...,R,, ... telles que/, (s) parcoure R, quand z parcourt R,,, et la 

 fonction uniforme F(z) admettra ce groupe si l'on a identiquement 



F[/.(Z)]=:F(.). 



» Cela posé, soit un groupe discontinu quelconque ; envisageons les deux 

 séries 



i = 



e, Z 



