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 or, si l'on pose 



4R_p _2-=^,^— -^, /,,_p^_2-i- = cp(^), 



l'équation de condition (4) se réduit à celle de M. Rummer, et l'on pourra 

 obtenir la valeur de Ç dans les cas connus d'intégration de cette équation 

 différentielle. 



» Les valeurs de P, R qui donnent, pour ^R — P" — s'y. l'expression 

 ci-dessus sont 



La seconde des équations différentielles (5) pourra donc s'intégrer au moyen 

 de séries hypergéométriques, ou, en indiquant par w^, îv, deux intégrales 

 particulières, on aura 



îv, = F(i, 1,1,1-?), 



F(a, |3, 7, I) étant, selon l'algorithme ordinaire, une série hypergéomé- 

 trique. 



» Si la première des équations différentielles (5) a la même propriété, 

 on pourra poser 



;•, = F(a, [3, a + |3 — 7 + I , I - a?), 

 et l'intégrale générale de l'équation (6) sera donnée par la relation 



<^ "Jo ■+- l>~l\ 



a, b, c, d étant des constantes. 



» Les séries hypergéométriques îv„, t^', peuvent s'exprimer, comme il 

 est connu, par des intégrales définies de la manière suivante ; 





Ç ) sin' (p 



Si donc on suppose ? = X', k étant le module des fonctions elliptiques, on 

 aura 



\\\ = - K, IV, = - R', 



