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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur tes fonctions de deux variables qui naissent 

 de l'inversion des intégrales de deux fonctions données (' ) ; par M. L. Fuchs. 

 (Extrait d'une Lettre adressée à M, Hermite.) 



« Je montre d'abord que les fonctions/(3), (p[z) ne doivent être zéro 

 pour une même valeur finie de la variable z et que l'exposant le plus petit 

 de z — a dans les développements de J{z), (p[z) dans le voisinage d'un 

 point singulier a de ces fonctions doit être un nombre négatif qui ou ne 

 surpasse pas l'unité négative ou, si la puissance n'est pas multipliée par un 



facteur logarithmique, peut aussi avoir la valeur — ( J [n nombre en- 

 tier positif), et de même l'exposant le plus petit de - dans les développe- 

 ments dans le voisinage de s = sd est un nombre qui ou ne surpasse pas 

 l'unité positive ou, si la puissance n'est pas multipliée par un facteur 



logarithmique, peut aussi avoir la valeur i H — {n nombre entier positif). 



» Je recherche alors quelles sont les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour que les valeurs u,=:i>,, u^z=v.^ auxquelles correspondent des 

 valeurs :;i, Jïj liées par l'équation (B) ne soient pas des points de ramifi- 

 cation pour les fonctions 3,4- s,, 2,^2» et je trouve, en posant 



^y(=)-'^'y(=)=F(.), 



les conditions que voici : 



» Tout système z^, z., qui satisfait à l'équation (B) doit aussi satisfaire 

 à l'équation 



(C) l<{z,)J{z,y + ¥{z,)J{z,Y=^o. 



Je montre alors que, pour des valeurs finies u,= i>,, u.^ — v.,, aucun des 



quotients pp\, ^^4 "^ P^"'^ atteindre une des valeurs que j'ai désignées 



ci-dessus par 7, et aucune des intégrales J'f{:-,) dz,, f(p{z,)dz,, JJ[z^dz2, 

 f'j(z.2)dz2, en supposant les chemins d'intégration finis, ne devient in- 

 finie, sinon il y a une relation entre les derniers éléments des chemins par 

 lesquels u,, u^ tendent aux points f,, Po. 



') Voir même Volume, p. i33o. 



