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 en désignant par s,, s, deux valeurs de Ç correspondantes aux valeurs 

 ::,= §,, z.,= §^ respectivement. 



» Je montre alors que les fonctions :; e\ f[zY, considérées comme fonc- 

 tions de Ç, ont les mêmes points singuliers essentiels, savoir les valeurs y, 



pour lesquelles |rW =y pour toute valeur de z. Les deux valeurs de :; qui 



correspondent à un point Ç = a non essentiellement singulier pour la fonc- 

 tion z àe'Ç sont ou des points non singuliers àef[z) et (f{z) ou des points 

 singuliers :; ^ a de ces fonctions, tels que leurs développements dans le 

 voisinage de z^^a ne contiennent point de logarithmes. Il faut de plus 

 que, dans l'expression 





^=:«-l-p,(:; — rt)"4-p2(s — «)" + ..., 



les coefficients p, et p„ ne s'annulent pas simultanément, et enfin qu'à 

 toute valeur de z qui ne rend pas infinies les intégrales JJ[z)dz, 

 fr{i[z) dz ne correspondent que des valeurs de Ç non essentiellement singu- 

 lières pour la fonction z de Ç. 



» Je démontre alors les théorèmes que voici : 



» Soit Ç = /3 une valeur finie non essentiellement singulière pour la fonc- 

 tion z de Ç. Si l'une des deux valeurs de z qui correspondent à Ç = |3 est 

 un point singulier s = « des fonctions y (c), o{z), en représentant par 



(A- = o ou un entier positif) le plus petit exposant de : — a dans 



leurs développements, dans le voisinage de z = a, l'une des quantités 



(Ç — jS)* v'4'(s) ou (b ~ P) " n/^(C) 6st uniforme dans le voisinage de z =p 

 et ne devient ni zéro ni infinie pour z ^^ p. Cela a lieu également pour 



z = CD , en désignant l'exposant le plus petit de - par Si à la 



valeur Ç=: (3 correspond une valeur non singulière b des fonctions ^^(s), 



o[z)y mais qu'on ait i|;(]3) = =o , alors (Ç — |3)2^y/ij<(Ç) reste uniforme dans 

 le voisinage de Ç=/3. I^a fonction '^{'Ç,) ne peut s'annuler pour aucune 

 valeur finie de Ç. Si Ç ^ co n'est pas un point essentiellement singulier pour 



la fonction z de Ç, les quantités Ç' V'fvÇ)' Ç^ V'K?) "e deviennent ni nulles 

 ni infinies pour s ^ oo et sont uniformes dans le domaine de s = 30 . Au 

 moyen des équations (A), je démontre alors que z^^ Zr. et z^z^ sont des 

 fonctions uniformes de ?(,, 11 2 pour toutes les valeurs finies de ces va- 

 riables. » 



