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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains s)'stèmes d'équations différentielles. 

 Note de M. Halphen, présentée par M. Hermite. 



« Considérons en premier lieu, avec M. Briosehi ('), les trois équations 

 simultanées à trois inconnues u,, ?/,, «3 : 



(l) rfa ="r". + y(«) ('-,^ = 1,2,3). 



» Je vais montrer qu'un changement de variables fait disparaître y(a) 

 et ramène ainsi ce système à celui que j'ai intégré dans ma Note du 

 9 mai dernier. Soit, à cet effet, une solution /(«) de l'équation 



posons 



/(«) = [logF(«)]' 



et prenons de nouvelles variables jS, v,, v^, i>3 : 



(3) ^=fF{a)dc<, ».=y(«) + .vF(«). 



» Substituant dans l'équation (i), on trouve, comme je l'ai annoncé, 



^P 



=^r^'s n- 



» Pareille propriété appartient à une classe d'équations différentielles 

 que je vais définir. 



M Soient 4'o ^a» •••) +« ^'^^ formes quadratiques à 7i variables 71,, 

 «2, ...,?/„ et dont les coefficients soient choisis de telle sorte que, si l'on 



y fait 



U,:=U.^ = . ..=: 11^^ = U, 



on ait alors 



d«i Ou, d«3 ()«„ ' 



(') Voir le présent Co/w/)<e rendu, p. iSSg. 



1^) Ce système d'équations différentielles a été rencontré par M. Darboux dans son beau 

 Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes [annales de VÉcole Normale, i" série, 

 t. Vil, p. 149)- Sachant maintenant l'intégrer, on pourra acliever la solution du problème 

 géométrique envisagé par le savant géomètre. 



