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 il s'intègre par les fonctions liypergéométriques X, Y, Z. Je vais le montrer 

 d'une manière encore indirecte, mais très simple. 



)) Pour abréger, je ne reproduis pas ici la définition des fonctions X, 

 Y, Z et j'emploie les mêmes notations que dans ma Communication du 

 4 avril (ce Volume, p. 85Gj. Si l'on traite ces fonctions comme des 



polynômes entiers ayant pour degrés respectiis > 5 — -» et que, a 



ce point de \ue, on forme des covaiiants, on prouve aisément que ces 

 CQvariants s'expriment par les fonctions elles-mêmes. Pour les jacobiens 

 el les hessiens, on trouve notamment 



t_ ± 



pXZ- mZ\'=(- i)'"pY" ', mYX'- »X\'= ; - i )">/''-', 



it ZZ"- ( f^ + , \ Z'^ ==-,-(•-+. \ X"'-= Y''-^ 



/' \/> I \/' J 



De ces trois équations je tire la suivante ; 



Z" / 1 I \ /' Z' 1' z X' X' Y' \ 



/^ Z = i:. + ,7 ) ["P z Y + '"P z X - '"" X Y ) • 



En permutant m, n, p et X, Y, Z, on obtient deux équations analogues. 

 » L'identité d'un tel système avec les équations 5) est évidente; mais, 

 comme jj. est lié à m, n, p par la relation 



III 2 



- H H - =1 ; 



m n i> 'j. 



l'intégration du système (5) se fait ainsi : 



X' Y' z 

 » Z)i'si(/»o;is /w/- 4»,, <l>j, $3 les trois fondions '«y' "y' PV '^' p>'e>ions 



a, -ha, -{-a-, — il r/, -r- a,-i- n, — ?.">. «, -(- «., -|- a, — 2), 

 ni = — = j ti = '■ ? P = ; 



l'iiiti'gfale gcnérale du sYsli'ine (5) est 



a' iib'- ba' 



"r = — r 



b'\ 2). — i7, — n, — «,i I «'a -1- b' 



^'\a'a^b') 



M Quand les nombres m, n, p sont entiers et positifs, les fonctions '!> 

 sont uniformes à Tintérieur d'un cercle dont j'ai donné le rayon. Obser- 

 vons encore que, si les nombres /«, 71, p sont m, 2, 2, ou 2, 3, 3, ou 2, 3, 4) 

 ou 2, 3, 5, les fonctions $ sont rationnelles. » 



