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 A ces conditions, le groupe dérivé des substitutions 



(rt,, bi ; n\ , b\ ) 



sera un groupe fuchsien, et l'on obtiendra de la sorte tous les groupes 

 fucbsiens. 



» II. Je discute ensuite les 2« — 4 équations dont j'ai parlé dans ma 

 Note du 3o mai. Supposant « = 3, je montre qu'elles ont toujours une 

 solution réelle. Je montre que les fonctions fuchsieimes et zétafuchsiennes 

 peuvent servir à intégrer une équation linéaire à coefficients rationnels, 

 pourvu que tous les points singuliers soient sur un certain nombre de 

 cercles se coupant en deux points a et h sous des angles commensurables 

 avec 2:r. 



» III. Dans une Lettre que M. Klein, de Leipzig, m'a fait l'honneur de 

 m'adresser, je remarque le passage suivant : 



» Nelimen Sie ein beliebigcs Pofygon, becjrânzl vom irgend welclien sicli 

 berùhrenden (deux à deux) Kreisen; so wird die Vervielfdltigung diircli Sjm- 

 metrie zu einer Groupe disccnlinu Jiïliren. 



» J'ajoute une condition que M. Klein n'a [las énoncée, mais qui ne lui 

 a sans doute pas échappé : si l'on prolonge deux quelconques des arcs de 

 cercles qui limitent le polygone, ils ne doivent pas se rencontrer. La re- 

 marque de M. Klein est aisée à vérifier, et l'on en déduit immédiatement 

 le théorème suivant : 



» Soit une équalion 



Je suppose : 

 » 1° Que 



1P,,= 2A,+ lB,ai= 22A,Y?,+ lh,n,=: o, 



A ^ A o = . . . = A = — '- • 



» a° Que les B et les a sont réels; 



» 3" Qu'ils satisfont à certaines inégalités ; 



» X sera alors fonction uniforme du rapport des intégrales. 



» J'ai cherché à généraliser le résultat de M. Klein, et voici à quoi je suis 

 arrivé : 



). Soient 27i cercles C,, C^, . . . , C„, C',, C, , . . , C'„ qui sont extérieurs 

 l'un à l'autre ou se touchent extérieurement ; tout groupe dérivé de n sub- 



