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 Ce sont les fonnnles de M. Cayley. Les équations telles que la suivante, 



(« — p) ^a6c'fi?'e'/'zp(a — pi]\Jab'cclef 



■ ' — o, 



où a. est un paramètre variable, représentent les covirbes de contact d'un 

 système de quadriqiies et de la surface. On obtient ainsi quinze systèmes. 

 Les quinze autres sont représentés par des équations un peu plus com- 

 pliquées. 



» La méthode précédente met en évidence la signification géométrique 

 des variables p, p,. On voit que le lieu des points pour lesquels une des 

 coordonnées |5, p, demeure constante est une section plane de la surface. 

 Cette section passe par un des points singuliers et elle enveloppe le cône 

 des tangentes en ce point. > 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sw les Surfaces pour lesquelles les coordonnées 

 d'un point quelconque s'expriment par des fonctions abéliennes de deux 

 paramètres. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« On sait que Clebsch a étendu aux surfaces algébriques la notion de 

 genre si importante dans la théorie des courbes plaiws {Comptes rendus^, 

 décembre 1868), et cette étude a fait depuis l'objet des travaux de plu- 

 sieurs géomètres, parmi lesquels je dois citer M. Nôther {Malliematische 

 Annalen). Je considérerai seulement ici des surfaces n'ayant d'autre sin- 

 gularité que des courbes doubles, et je supposerai de plus que, en tous les 

 points de la courbe double, les deux plans tangents à la surface sont dis- 

 tincts. Je rappelle que le genre d'une surface d'ordre n est, d'après Clebsch, 

 le nombre des coefficients restant arbitraires dans une surface d'ordre 

 [n — 4) passant par la courbe double. 



>- Considérons une surface n'ayant d'autre singularité que celles qui ont 

 été indiquées et telle que les coordonnées d'un quelconque de ses points 

 puissent s'exprimer par des fonctions abéliennes de deux paramétres a 

 et j3. Je me propose de montrer dans cette Note que la genre d'une telle 

 surface est au plus égal à l'unité : c'est, on le voit, une proposition toute 

 semblable à un théorème bien connu dans la théorie des courbes planes 

 et sur lequel je m'arrêterai tout d'abord. Soit donc 



f{x,y)^.o 



l'équation d'une courbe telle que r et y puissent être considérés comme 



