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 lonctions doublement périodiques d'un paramèlre 2. Le genre delà courbe 

 ne pourra êlr'' supérieur à l'unité. Supposons, en effet, qu'il existe deux 

 intégrales de première espèce 



les fonctions de z. 



J Jy J Jy 



sont, conune je l'iii moniré aillctu's, des fonctions uniformes et continues 

 de z pour toute valeur de z; étant, d'autre part, doublement périodiques, 



elles ne peuvent être que constantes, et, par suite, le quotient ^';^^~! est 



aussi constant : conclusion inadmissible, car il ne peut exister deux rela- 

 tions distinctes entre .r et j'. 



» Nous allons suivre une marche toute semblable, quoique dans des 

 circonstances beaucoup moins simples, pour démontrer le théorème précé- 

 demment énoncé. Au lieu d'employer les coordonnées ordinaires ce, y, z 

 |)Our un point de la surface, prenons les coordonnées homogènes x, y, z 

 et t. Soit alors 



f{x,y,z,t) — o 



l'équation de la surface, nous pouvons supposer que x, y, z, t sont dos 

 fonctions uniformes et continues des paramètres a, |3, 



a; = P,(«./3), y^?,[a,[i), z = V,[a,^), f=I>,^«,/3), 



et se reproduisant, comme les fonctions©, à un facteur exponentiel prés 



par l'addition à a et [j de périodes correspondantes. Il pourra arriver que 



P 

 pour des systèmes de valeurs (n, b) un ou plusieurs des rapports -' soient 



indéterminés, mais ces couples de valeurs [a, b) seront eu nombre limité, 

 abstraction faite, bien entendu, de multiples des périodes. 

 » Soit maintenant 



Q(a;, v,:;,0 = o 



une surface d'ordre [n — l\) passant par la courbe double de la surface 



