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 donnée; j'envisage l'expression 



» C'est manifeslement une fonction quarlriiplement périodique des va- 

 riables a et |3 ; mais cette fonction, comme l'expression analogue rencon- 

 trée plus haut pour les courbes planes, se réduit à une constante. J'indique 

 succinctement la démonstration de ce point important; on reconnaît 

 d'abord immédiatement que, pour tout système de valeurs (a,]3) non 

 équivalent à un système (rt, h) précéflemment défini, et, de plus, ne don- 

 nant pas un point de la courbe double, l'expression (I) a luie valeur finie 

 parfaitement déterminée. Soit maintenant (^z, |S) un couple de valeurs des 

 paramètres donnant un point de la courbe double; deux cas seulement 

 pourront alors se présenter: l'expression (I) aiu-a pour ce S3Slème ime 

 valeur finie bien déterminée, ou elle sera indéterminée. Mais toute fonc- 

 tion abélienne de deux variables («, /3) doit nécessairement devenir infinie 

 pour une infinité de couples non équivalents de valeurs de ces variables; 

 or on voit que les couples (rt, h) sont les seuls qui pourraient rendre 

 l'expression (I) infinie : celle-ci se réduit par suite à une constante. 



» Si la surface est d'un genre supérieur au premier, il existera un second 

 polynôme Q,(x, y, z, t) permettant de former une seconde expression ana- 



logue à (I). Chacune d'elles étant constante, leur quotient >.',---— ^-r sera 



lui-même constant ; mais cette conclusion est inadmissible, car on aurait 

 alors une relation entre deux des coordonnées d'un point quelconque de 

 la surface. 



» Diverses conséquences peuvent, ce me semble, être tirées de l'analyse 

 précédente; je me bornerai aujourd'hui à la remarque suivante. Mais 

 écrivons auparavant l'expression (1) en revenant aux coordonnées ordi- 

 naires ûc^j, z; elle devient alors 



