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 et, puisque p,, ...,/>„ sont contenus linéairement dans les n identités ra- 

 tionnelles 



(3) ^_j ç„-f-,p„= O, <p, =.. =: (p„_, =0, 



ils seront par là même déterminés sans difficulté. Maintenant, il s'agit du 

 problèifle inverse, plus difficile : 



» Etant donnés les coefficients rationnels d'une équation différentielle li- 

 néaire (2), déterminer tant qu'il sera possible les relations entre les constantes 

 contenues dans ces coefficients et celles que contient la solution particulière cor- 

 respondante (i). 



» Je proposerai ici un moyen général d'aborder ce vaste problème. 



» A cet effet, soit .f(x)une fonction rationnelle de x, qui doit s'annuler 

 identiquement; en désignant par P(x) un polynôme entier de x et parK^, 

 Lr, Mr, A,, /,. m^ des constantes, on sait que £ [x) peut se mettre sous la 

 forme 



(4) i(x) = p(x)+y ""■■ +y--'^----^^...-^^-^'--^^ = o, 



^ ^ ' ^x~k,. ^(x—lrf Ld{3: — rti,.Y ' 



r=l ;=l (=1 



les valeurs des indices /, X, p. et de l'entier positif 5 étant quelconques. Eu 

 s'appuyant sur le théorème que les intégrales de deux différentielles identiques 

 sont identiques et une constante près, on aura, en multipliant l'identité (4) par 

 la dilférentielle dx, le résultat d'intégration suivant, qui doit être identi- 

 quement satisfait, 



(5) P.(xj4-A,-.|K.log(x-/t)-.|^,^- -^(.z:^p=o, 



1=1 /■ = 1 r = 1 



OÙ P,(x) est l'intégrale du polynôme P(^) et h^ la constante d'inlégration. 

 » Si l'on fait décrire à x un contour fermé autour du point k^ ('), le 

 terme ±: 271 y - 1 K^ s'ajoute au terme logarithmique, tandis que la somme 

 des autres termes ne change pas, ce qui exige que l'on ait en même temps 

 la condition 



(6) K;.= o (r=i,2, .. ,x) 



(') C'est d'une manière toul analogue, c'est-à-dire en faisant décrire à .)• un contour 

 fermé autour d'un zéro b,. do la part irrationnelle du produit B, que l'on a tiré, de l'iden- 

 tité ( 'j ) de la Note citée, les ri identités ( 3 ) ci-dessus. 



