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» On sait le grand parti qu'a tiré Cauchy des variables imaginaires, 

 qu'il a appelées (juaniités fjéométriqiies , et dont la nature a été parfai- 

 tement définie du jour où l'on a pu les représenter par des lignes dans 

 le plan. 



» La considération des quantités géométriques peut simplifier aussi les 

 démonstrations de tous les théorèmes sur les nombres, lorsqu'on introduit, 

 comme le fait Dirichlet, les diverses racines de l'unité. En cherchant à 

 apphquer cette théorie aux belles recherches de M. Rummersurles nom- 

 bres complexes, nous avons été amené à penser que les nombres idéaux 

 pourraient bien n'être que des polygones dans l'espace, de même que les 

 nombres complexes peuvent être considérés comme des polygones dans un 

 |)lan. 



» Nous avons alors été conduit à introduire dans 1 analyse de nou- 

 velles quantités, qui peuvent être représentées par des lignes tracées dans 

 l'espace. 



» De même que nous avons appelé cjuanlite géométfique une ligne quel- 

 conque tracée dans un plan, de même nous appellerons (luantité iiltra- 

 géoinélrique une ligne tracée d'une manière quelconque dans l'espace. 



» Hamilton s'est déjà occupé de quantités de ce genre; mais ses nota- 

 tions nowdjreuses et confuses ont rendu jusqu'à présent l'emploi des qua- 

 ternions très-difficile, sinon impossible. Dans la théorie que nous allons 

 développer, nous n'avons besoin d'aucun signe nouveau, et les nouvelles 

 quantités que nous introduisons ne sont qu'une généralisation tiaturelle 

 des quantités imaginaires dans un plan. 



)) Traçons trois axes orthogonaux OX, OY et OZ, et appelons UZ axe 

 ultra-géométrique, OY axe géométrique, et OX axe réel ; désignons encore 

 par plan géométrique le plan des XY. 



>; Si à partir de l'origine O nous traçons une ligne OA quelconque dans 

 lespace, nous pourrons la définir complètement en nous donnant sa lon- 

 gueur, l'angle w de sa projection sur le plan des XY avec l'axe réel, et 5 

 l'angle qu'elle fait elle-même avec sa projection. Nous appellerons la lon- 

 gueur OA, le module; l'angle (», Vangle géométrique ou la longitude; 

 l'angle Q, l'angle ullra-géomélrique ou la latitude. 



» Si le module deOA — «, on désignera la quantité ullra-géometnque OA 

 para,^g,: pour faire la somme de deux quantités ultra-géouié!ri(|ues 

 a et Z», „ , on les portera l'une au bout de l'autre. La ligne OB repré- 

 sentera la somme a, ^,+ b. ., en grandeur et en direction : il est évident 



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