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d'ailleurs, par cette définition de la somme, que 



«(«,»)+ ''V^„0,)= V„0,)+ V,6)- 



Donc on peut intervertir l'ordre des parties de la somme. 



» Quant au produit des deux quantités ultra-géométriques, on aura par 

 définition : 



» Il suffira donc de multiplier ensemble les deux modules et d'attecter le 

 résultat d'un angle géométrique égal à la somme des angles géométriques 

 des facteurs et d'un angle ultra-géométrique égal à la somme des angles 

 ultra-géométriques des facteurs; d'ailleurs il est évident que 



^{■^, e) X *(a,„ e.) = V>, «,) ^ %. «)• 

 Par suite de cette définition, un nombre quelconque a, ^, pourra ètic 

 considéré comme composé de trois facteurs : 



«(0,0) ou rt, 



1(0,9) O" '«' 

 '(.,,0) OU '«• 



Un de ces facteurs représente le module, l'autre le facteur ultra-géomé- 

 trique, le dernier le facteur géométrique. Mais il est facile de voir qu'on 

 peut écrire 



i^= cosw + isin w 

 et 



ig= cosô -f-ysinô, 



/ désignant une longueur égale à l'unité portée perpendiculairement au 

 plan des xj. 



» En conformité avec les notations admises, nous aurons 



Donc une ligne quelconque dans l'espace se représentera par ralgorithmc- 

 » On vérifie de suite que pour multiplier deux quantités de cette forme 



