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 il suffit de iimltiplier les modules entre eux et d'ajouter respectivement les 

 latitudes et les longitudes 



I) Ainsi la règle que nous avons donnée pour multiplier ensemble des 

 quantités dans l'espace conduit à des multiplications algébriques ordinaires 

 lorsque chacune des lignes est écrite sous la forme monôme; mais il n'en 

 est plus de même lorsque l'on considère chaque ligne dans l'espace comme 

 composée d'une somme de lignes obtenue d après la règle que nous avons 

 donnée ci-dessus : en effet, dans ce cas le produit ne peut pas être obtenu 

 directement, parce que pour les multiplications dans l'espace le produit des 

 sommes n'est pas égal à la somme des produits partiels. Cependant cette 

 difficulté n'est pas insurmontable, nous allons le faire voir. 



>i Supposons qu'on désigne une quantité ultra-géométrique par l'ex- 

 pression suivante, 



.r -+- ri -(- zj. 



D'après la définition de la somme, cette expression représentera une ligne 

 dans l'espace ayant, comme projections sur les axes, x, j, z. Mais si nous 

 multiplions 



jc -hj'i-i- z/ par x' + J''i + ''/' 



lorsque nous considérerons les produits partiels où entrera zj, rien n'indi- 

 quera le plan dans lequel doit se trouver z, tandis que ce plan était parfai- 

 tement déterminé dans l'expression complexe jc +yi + zj ; par conséquent, 

 la représentation x -h yi -\- zj n'est pas suffisante lorsqu'on considère iso- 

 lément les lignes x, ji et zj ; il faudra donc exprimer cpie la ligne z reste 

 dans le plan déterminé par x -h j'i- On pourra le faire sans changer m la 

 valeur absolue de z, ni sa direction, en multipliant zj pare'" , e'^' étantégal au 

 facteur géométrique de la ligne x+yi+zj, et alors, pourvu qu'on 

 ordonne par rapport à y", puis par rapport à /, le produit des deux quantités 



X + yi -+■ zj par x' -\- j' i -h z'j 



sera donné par le produit algébrique des quantités 



{x -\-ji + ze"7) X {x' + j'/ -4- z' e'''j) . 



Si on cherche le module de ce produit, on trouvera qu'il est égal au \tvo- 

 duit des modules des facteurs. 



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