( >63 ) 

 sont pas puissances des fadeurs du dénominateur, de telle sorte que, si 

 h contient p\ mais ne contient pas /; — i, le numérateur de B„ contien- 

 dra p''; comme corollaire, on peut remarquer que, p étant un nombre pre- 

 mier quelconque, le numérateur de B^ contiendra toujours/:». Quant aux 

 nombres de la série pour la sécante qu'on peut nommer les nond^res d'Euler 

 qui le premier en a fait le calcul, et qui sont tous, comme on sait, des nom- 

 bres entiers et positifs, et que je propose de dénoter par le symbole E, voici 

 une propriété dont ils jouissent. 



» Désignons par /j un nombre premier tel, que p — i ou plus générale- 

 ment {p—i)p' soit un facteur de su; alors, dans le cas où pest de la forme 

 4« + I, p''^' sera un facteur de E„, mais dans le cas où p est de la forme 

 4n — i,/?'"^' sera un facteur de (— 1)"~' .2 -t- E„. On comprend que E„ 



exprime le coefficient de — '■ dans le développement de sécante de x. 



Par parenibèse il sera bon de remarquer qu'en combinant les deux 

 règles pour B;, et E„ on voit que le dénouùnateur de leur produit ne peut 

 les contenir comme facteurs, aucuns nombres premiers de la forme l\/i ■+ 1 . 

 Euler a fait le calcul desE jusqu'à E^, mais a donné une valeur erronée de 

 cette dernière qui a été corrigée par M. Rotbo, dans le Journal de Crelle, 

 dans nu Mémoire communiqué par M. Ohm. Selon ma règle Eg + a doit 

 contenir les trois facteurs 3, 7, 19, ce qui s'accorde avec la valeur donnée 

 par Rollîo, mais non pas avec celle d'Euler. C'est à propos de ma nou- 

 velle théorie des partitions des nombres que je me suis intéressé 

 spécialement aux nombres de Bernoulli et d'Euler, qui tous les deux font 

 une partie des développements qu'elle exige; en effet, on a besoin dans 

 cette théorie de toutes les espèces de nombres dont la fonction génératrice 



est '^ ,' {g étant mi entier quelconque donné, et p une racine de l'unité 



d'un degré quelconque). Selon le degré de l'équation dont p est une racine 

 primitive, on peut les nommer des nombres bernoulliens l'on si l'on veut 

 sous-bernoulliens) d'un tel ou tel ordre. Jusqu'à présent on paraît n'avoir 

 tenu compte que des nombres bernonlliensdu premier et du second ordre 

 (qui sont liés entre eux par le facteur exponentiel si bien connu) et de 

 ceux du quatrième ordre auquel appartiennent en effet les nombres dits 

 d'Euler. Mais ces nombres pour tous les ordres possèdent des proprié- 

 tés arithmétiques très-dignes d'être étudiées; j'espère pouvoir y revenir 

 et avoir l'honneur d'en faire le sujet d'une nouvelle communication à 

 l'Académie. » 



