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 v;int le module (/; — i)//, on aura 



i^^ (-VTi„ = (-)"'E,/ (rnotl //+'), 



lorsque /? sera un nombre premier impair, 

 2° E„ ^E„' (morl. 2'), 



lorsque l'on aura p = 2 , c'est-à-dire lorsque n et n' seront congrus par 

 rapporta 2'""' (*). 



» Si l'on se rappelle que E, = i et que l'on combine la dernière partie de 

 ce théorème avec celui qui se trouve énoncé plus haut, on arrive immé- 

 diatement à cette conséquence remarquable, que : Tout nombre d'Euler est 

 de la forme l\k-\- i. Cette loi si simple paraît avoir échappé à l'illustre in- 

 venteur de ces nombres puisque la valeur qu'd a donnée pour E, est de la 

 forme 4 A — I. En se reportant aux théorèmes que j'ai obtenus, on ne peut 

 guère commettre d'erreurs, sans les reconnaître, dans le calcul des nom- 

 bres E. Par exemple, en partant des quatre valeurs 



E, =: I, E2 = 5, E3 = Gi, Ej = i385, 

 on peut affirmer à priori que Eg appartient à toutes les formes linéaires 



5 A- + I , \ik -h \, 1 3 /i- + 9, I G X: + I , i -^ A- -t- 1 ; 



en outre, à cause de la forme du double 18 de l'indice g, lequel contient 

 les facteurs 6, 2 X 3, 18, on sait que Eo appartient encore aux formes 

 linéaires 



'] k — 2, 9 A— 2, 19 A' — 2. 



» La valeur 24048 79661 671 obtenue par Euler ne satisfait à aucune de 

 ces huit conditions; celles-ci, au contraire, sont toutes vérifiées par la va- 

 leur 24048 79675 44 1 donnée par M. Rothe. Ainsi on peut non-seulement 

 affirmer que la première valeur est erronée, mais encore on a tout lieu de 



! * ) Un théorème tout à fait analogue doit avoir lieu pour les nombres de lieinoiilli du 



2'"= ordre, c'est-à-dire pour les nombres qui multiplient dans le développement 



I . 2 ... 2 « 



1 ' . • 



<ie en série. 



G. R., 18G1, 1" Semestre. (T. LU, N» JJ.) 



