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 une formule, très-répandue de nos jours, par laquelle on développe en 

 série une racine ou une fonction continue d'une racine d'une équation de la 

 forme 



H = .r 4- aç {il). 



» La démonstration complète de cette formule, qui a fixé successivement 

 l'attention des Laplace, Jacobi, Cauchy, Tcliébichef, etc., est un problème 

 assez complexe. Il faut distinguer la racine que l'on développe, indiquer les 

 conditions sous lesquelles elle est développable en série convergente, trouver 

 la forme du développement ainsi qu'une limite supérieure de l'erreur com- 

 mise lorsqu'on prend un nombre limité de termes dans la série. Il convient 

 en outre que tous ces résultats soient déduits d'un principe unique par un 

 procédé à la fois simple et rigoureux. 



» Telles sont les conditions que j'ai chercbé à remplir dans la démonstra- 

 tion qui fait l'objet principal de ce Mémoire. La métliode que j'ai suivie 

 présente quelque analogie avec celle que Lagrange a employée dans le 

 Traité de la résolution des équations numériques et que Murphy a reproduite, 

 en d'autres termes, mais sans plus de rigueur, dans les Transactions philoso- 

 phiques de Cambridge. Les résultats sont d'ailleurs, avec plus de précision, 

 ceux que l'on trouve dans les travaux de Cauchy, énoncés d'une manière 

 plus ou moins explicite, au milieu d'un grand appareil de formules et de 

 notations compliquées. 



» Après avoir exposé quelques principes, dus pour la plupart à Cauchy, 

 sur les fonctions imaginaires, je démontre dans deux théorèmes simples la 

 formule de Lagrange, que j'applique ensuite à la résolution des équations 

 trinômes et au développement de l'anomalie excentrique et du rayon vecteur 

 des planètes suivant les puissances de l'excentricité. L'application aux équa- 

 tions trinômes donne lieu à des vérifications importantes , et elle permet de 

 constater par un calcul direct que notre limite supérieure du reste est très- 

 resserrée. L'expression générale de cette limite nous conduit d'ailleurs, dans 

 les deux applications suivantes, à cette conclusion remarquable : Si l'excen- 

 tricité de l'orbite elliptique ne dépasse pas o,a5, il suffit, pour avoir l'ano- 

 malie excentrique et le rayon vecteur à moins d'un demi-millième, de prendre 

 sept termes dans les séries correspondantes. 



» Je termine enfin par quelques théorèmes plus généraux, susceptibles 

 d'applications nombreuses, parmi lesquelles je signale une démonstration 

 très-courte d'une formule célèbre de Wariug relative à la somme des puis- 

 sances semblables des racines d'une équation .algébrique. » 



