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» Cette courbe, imaginée par Niconiéde (vers i 5o ans avant notre ère), 

 lui servait pour résoudre, d'une manière fort ingénieuse et qui atteste des 

 connaissances géométriques déjà profondes, les trois célèbres problèmes de 

 l'antiquité : la trisection de l'angle, les deux moyennes proportionnelles et 

 la duplication du cube. Celui-ci se ramène, comme on sait, aux deux 

 moyennes proportionnelles (i). 



» Chez les Modernes, Viète et Newton ont étendu cet usage de la con- 

 choïde : le premier, en montrant que toutes les équations du troisième de- 

 gré se ramènent aux deux auxquelles conduisent les problèmes résolus 

 par Nicomède, et par conséquent se peuvent résoudre par la même courbe; 

 et Newton en réalisant ce mode de solution, c'est-à-dire en construisant 

 toutes les équations du troisième degré par la conchoïde (2). 



« Mais quelle que soit l'importance qu'on a donnée à la conchoïde, cette 

 circonstance, qu'elle est décrite dans le mouvement d'une figure, n'a mis 

 sur la voie d'aucune propriété qui touche à la question du déplacement 

 d'iuie figure de forme invariable. 



(i) Cette connexion intime entre les deux problèmes a été découverte, au rapport de 

 Proclus (Livre 3; proposition i''^), par Hippocrate de Chio. Elle est fondée sur ce que 

 l'équation x^= 2a' est une conséquence des deux x''=iay, y''=z7.ax, qui expriment le 

 problème des deux moyennes proportionnelles entre les lignes a et 2a. 



(2) Newton, en cherchant à consacrer cet usage de la conchoïde de préférence aux sec- 

 lions coniques, à raison de sa plus facile description mécanique, posait en principe qu'on 

 doit admettre les courbes, en Géométrie, selon le rang de simplicité de leur description, 

 plutôt que selon le degré de leur équation. 



On peut croire qu'ici l'illustre auteur s'est laissé guider, comme dans le titre même de 

 son livre. Arithmétique universelle, par une vue systématique en opposition à la Géométrie 

 de Descartes, qui veut qu'en se servant des courbes pour la résolution des équations et des 

 problèmes, en général, on emploie toujours celles du moindre degré possible. 



Il est bien clair que Descartes en posant ce principe, et ses contemporains en y adhérant, 

 distinguaient le point de vue théorique, de la question de pratique effective, chose si diffé- 

 rente. Nevfton le comprenait bien au fond; car il therche à prévenir le jugement que les 

 géomètres pourront porter sur les considérations contraires qu'il vient d'émettre. Il ajoute, 

 en effet, ces paroles : « S'il se trouvait quelqu'un qui ne partageât pas mes sentiments, qu'il 

 a se persuade bien qu'il s'agit ici, moins de constructions géométriques, que de constructions 

 » (juciconques, par lesquelles je cherche à approcher le plus près possible de la valeur des 

 » racines d'une équation. « (Arithmétique universelle; Construction linéaire des équations.) 



Qu'on nous permette de le dire. Newton, en combattant le sentiment de Descartes, a mé- 

 connu le caractère essentiel et la destination des sections coniques en Géométrie, savoir, de 

 servir à résoudre les questions ii trois ou à quatre solutions, ;\ l'instar du cercle qui a pour 

 objet (le l'ésoudre les ipiestious à diux solutions. 



