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 ainsi disposés que chaque ligne coupant dt^ux rayons correspondants diins 

 deux faisceaux sera elle-méiiie en invohition avec les cinq lignes don- 

 nées. 



« J'.ijoule, comme étant compris virtuellement dans ce qui précède, que 

 le lieu de toutes les lignes qui sont en invohition avec les lignes données et 

 passent par un point donné, est le plan polaire de ce plan (selon la définition 

 expliquée ci-dessus du pôle et du plan polaire). M. Mœbius avait déjà dé- 

 montré que ce lieu doit être un plan ; mais il avait omis de donner le moyen 

 de le construire. 



» On peut aussi remarquer que chacune des cinq lignes données passe 

 par deux rayons correspondants dans chaque couple de faisceaux construit 

 selon la méthode fournie plus haut; !a même chose aura lieu pour chaque 

 ligne droite qui se trouve dans l'hyperboloide dont trois quelconques des 

 lignes données sont des génératrices; et j'ajoute que six ligues quelconques, 

 chacune desquelles passe par deux rayons correspondants dans un couple 

 de faisceaux, serotit en involution entre elles. 



>' On peut donner le nom d'axes conjucjués à chaque paire de lignes dont 

 toutes les transversales sont en involution avec un système donné de cinq 

 droites. Ces systèmes d'axes possèdent entre eux des propriétés remarqua- 

 bles dont, pour le moment, je veux seulement indiquer la suivante : On 

 peul toujours mener un liy/jerbotoule par deux paires quelconques d'axes con- 

 jugués. 



» Voici les propriétés métriques les plus frappantes des couples de faisceaux 

 hoinographiques dont il est question. Les deux droites perpendiculaires a 

 la ligne des centres dans les deux plans de l'homographie seront des rayons 

 correspondants; en conséquence, si l'on fait tourner l'un des faisceaux au- 

 tour de la ligne des centres jusqu'à ce qu'il se trouve dans le même plan 

 avec l'autre faisceau, les rayons correspondants s'entrecouperont dans une 

 ligne droite perpendiculaire à la ligne des centres, et je trouve que le point 

 où cette perpendiculaire coupe la ligne des centres sera le pôle du plan qui, 

 passant par cette ligne, divise en deux parties égales l'angle dièdre formé 

 par les deux plans homographiques. Nommons ce point le pivot de la ligne 

 des centres : j'aurai tout à l'heure l'occasion d'y revenir. 



>■ Considérons l'ensemble de tous les axes conjugués, c'est-à-dire de 

 toutes les paires de rayons correspondants de tous les couples de faisceaux 

 appartenant à un système donné de cinq lignes, je dis qu'on peut appliquer 

 dans les directions de ces deux axes deux forces dont le rapport de gran- 

 deur sera absolument constant pour le système donné, de façon quelles 



