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 seront statiqueraent équivalentes à deux forces de grandeurs convenable- 

 ment choisies dans les directions de deux autres axes conjugués quelcon- 

 ques. En considérant une ligne quelconque coupant ces deux axes comme 

 la ligne des centres d'un coujdIb homographique contenant ces deux axes 

 pour rayons correspondants, les deux forces qui doivent agir dans leur di- 

 rection pour balancer les deux forces fixes auront des moments égaux par 

 rapport au pivot de cette ligne. Par conséquent, si l'on connaît le pivot 

 d'une seule ligne de centres qui rencontre deux axes conjugués fixes por- 

 teurs des lignes en involution avec un système de cinq lignes données, on 

 peut construire tous les couples de faisceaux homographiques dont les lignes 

 et centres rencontrent ces mêmes axes. Car non-seulement les plans d'ho- 

 mographie de chaque couple seront connus, mais le rapport anharmonique 

 de ses deux faisceaux le sera de même, et cela parce que la position des pi- 

 vots devient déterminée. On peut ajouter que, puisque tous les pivots ap- 

 partenant aux mêmes axes conjugués doivent être trés-éloignés de ces deux 

 axes par des distances perpendiculaires qui sont dans un rapport constant 

 entre elles, le lieu géométrique qui les contient tous sera une surface du se- 

 cond degré et évidemment un hyperboloide. 



» Puisque tous les axes conjugués appartenant à un système de cinq 

 droites données peuvent être considérés comme les directions de deux forces 

 qui équivalent statiquement à deux forces données en grandeur et en posi- 

 tion , on voit par ce qui a été dit plus haut que l'ensemble infini de toutes 

 les paires de forces équivalentes entre elles possède cette propriété remar- 

 quable, déjà donnée par M. Mœbius [Journal de Crelle, t. X, p. 3 17), que les 

 transversales tirées du même point quelconque dans 1 espace de manière à 

 rencontrer les directions des forces dans chaque paire, serontsituées dans le 

 même plan, qu'on peut nommer le plan polaire au point donné. C'est une 

 polarité réciproque tout aussi nettement définie que la polarité plus ordinaire 

 qui se rattache à luie surface donnée du second degré. On voit que la jiola- 

 rité dont il est ici question peut être considérée comme se rattachant à deux 

 paires de lignes droites qui sont les génératrices du même hyperboloide. 



» Dans une communication subséquente, j'ajouterai brièvement les ca- 

 ractères algébriques de tous les cas d'involution, et je ferai connaître un dé- 

 terminant (composé de déterminants obtenus par la combinaison des coeffi- 

 cients des équations de six ou d'un moindre nombre de lignes droites, 

 mises sous leurs formes les plus générales) au moyen duquel on peut s'as- 

 surer si ces droites sont en involution ou non, et, de plus, distinguer entre 

 les diverses espèces d'involution, et même reconnaître d'autres dispositions 



