(8.6) 

 Si les six droites i, 2, 3, 4) 5, 6 sont en involntion, on aura 



Ae = o; . 



et réciproquement si A, = o, les six lignes seront en involution. 



» En nous bornant aux cinq chiffres i, 2, 3, 4» 5, on peut former un dé- 

 terminant analogue à A^ (disons A5) qui ne contiendra que cinq lignes et 

 cinq colonnes, et qui sera un déterminant mineur du premier ordre du grand 

 déterminant Ag. De même pour A^ etc. 



» Si Ag = oetAj ^ o (sans que tous les déterminants mineurs du premier 

 ordre de A^ soient zéro), les cinq lignes i, 2, 3, [\, 5 formeront un système 

 en involution entre elles. Si tous les déterminants mineurs du premier 

 ordre sont zéro (ce qui ne suppose qu'une seule condition de plus, c'est-à- 

 dire trois conditions en tout), les six lignes de i à 6 seront toutes rencontrées 

 par la même droite. 



» Si Ag = o, A5 = 0, A^ = o, alors en général les quatre lignes de i à 4 

 seront en involution entre elles; je n'insisterai pas ici sur les cas possibles 

 d'exception; j'ajouterai seulement que si A5 = o sans autre condition, les 

 cinq lignes de 1 à 5 seront toittes rencontrées par la même droite. Si A, = o, 

 sans autre condition, les quatre lignes de i à 4 n'admettront qu'u/ie seule 

 transversale qui les rencontre toutes quatre, au lieu des deux qui existent 

 ordinairement pour quatre droites dans l'espace. C'est M. Cayley qui le pre- 

 mier a fait cette dernière remarque. De plus il a trouvé indépendamment 

 un déterminant qui est égal à la racine carrée de Ag et qui conséquemment 

 .sert tout aussi bien que A» pour définir linvolution. 



.1 L'espace me manque pour produire ici cet autre déterminant, mais J£ 

 dois ajouter que c'est d'une grande utilité dans l'étude analytique de la 

 théorie d'involution. 



» Je prie qu'il me soit permis de profiter de cette occasion pour rectifier 

 une erreur qui s'est glissée dans l'énoncé d'un théorème donné dans les 

 Comptes rendus (a6 janvier 1861). Dans le second i)aragraphe de la Note, 

 p. 161, au lieu de « pour numérateurs le cycle toujours répété... par rap- 

 » port à r, >. lisez « pour numérateurs lecycle toujours répété des nombres 



» entiers congrus à -, -, -,•••,- et compris parmi les nombres i, 2, 



° r P P P 



M 3,..., /'. » Et plus bas au lieu de « mais à cause... loA-t- 2 » lisez : « mais 



» à cause de 



7X3=1 (mod5) = -^ + -^-+- ^ + —^ + -^ + 



