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» Si l'écliiqiuer considéré a un nombre impaii' de cases, la somme des 

 deux derniers termes correspondants sera de même parité que celle des 

 deux premiers, le circuit ne pourra donc pas être rentrant. 



» On pourrait se proposer de former séparément ces deux suites. L'une 

 d'elles est en effet fycile à obtenir par le procédé suivant : 



» Soit m un nombre pair quelconque, racine du carré ;«*, qui forme 

 l'écliiquier considéré; écrivons la suite i, 3, 5,..., m + i,..., 6, 4, a, telle 

 que deux nombres consécutifs y sont toujours à égale distance des extrêmes. 

 En recommençant cette suite au second terme 3, ou en obtient une nou- 

 velle 3, 5,..., 6, 4) 2, I dans laquelle les nombres delà première suite ont 

 changé de leurs places pnî'res en des places impaires et inversement. 



" En écrivant ces deux suites à côté l'une de l'autre et les répétant 



- fois, on aura formé une suite satisfaisant aux conditions nécessaires pour 



qu'elle représente la succession des abscisses par exemple. 



)) Quant à la succession des ordonnées, si l'on choisit arbitrairement la 

 parité du premier terme, la parité de tous les autres est déterminée par cette 

 condition qu'ajuutésaux termes corres|)ondants de la suite des abscisses, ils 

 doivent donner des nombres alternativement pairs et impaiis; mais cela ne 

 suffît pas pour la déterminer entièrement, et on n'obtient par cette marche 

 qu'un tâtonnement analogue à ceux d'Euler et de Vandermonde, bien que 

 l'étude de ces suites soit intéressante à plus d'iui point de vue : cependant il 

 est un moyen d'obtenir par une décomposition effectuée sur l'échiquier une 

 méthode de solution qui peut s'étendre à un échiquier quelconque. 



» Ce moyen consiste à séparer la solution chercfiée en deux parties sy- 

 métriques par rapport au centre de l'échiquier. En tirant des lignes par les 

 milieux des côtés opposés, on décompose l'échiquier de 64 cases en 4 car- 

 rés de i6 cases. Chacun de ces carrés se décompose à son tour en quatre 

 circuits partiels ou marches de quatre cases, de sorte que l'échiquier est dé- 

 composé d'une part en huit groupes de quatre cases et d'autre part en 

 huit groupes de quatre cases symétriques des premières par rapport au 

 centre. 



» L'avantage de cette méthode consiste premièrement à ne se préoccuper 

 que de remplir la moitié de l'échiquier (puisque la deuxième moitié de la 

 solution doit se composer de cases symétriques de celles de la première 

 moitié par rapport au centre); puis, comme l'échiquier est pai tagé en 

 groupes de quatre cases donnant chacun quatre pas du cavalier, les essais 



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