(97» i 

 un système tle6 poiiilseii iiivolution ., et coupée aussi par une 7* droite. C'est 

 une conséquence de la théorie connue de ces 27 lignes (comme l'a bien 

 montré mon ami distingué), qu'une surface du 3* degré peut être construite, 

 qui contiendra ces 8 droites (la base et les 7 autres lignes qui la coupent). 



» En me prévalant d'une autre façon de mon théorème, je suis parvenu 

 à donner une construction d'une nature semblable, mais plus symétrique et 

 plus simple que celle de M. Cayley, au moins dans des données qui pour 

 moi sont une ligne droite coupée par 5 autres droites sans autre condition. 



» C'est le système de droites qui s'offre tout naturellement dans la théo- 

 rie de mécanique dont je m'occupais et dont je me fus proposé de prime 

 abord de me servir pour résoudre la question au temps même que j'ai reçu 

 de la part de M. Cayley la solution avec le nouveau système de données 

 dont j'ai parlé plus haut. Voici une première observation qui sera utile dans 

 la suite. En prenant 5 lignes droites toufà fait arbitraires, disons a, b,c, 4, a, 

 en les joignant quatre à quatre, on peut construire 5 systèmes de paires de 

 transversales; mais si les 5 données rencontrent la même droite, disons x, il 

 est évident que ces 5 paires se réduiront à cette droite et 5 autres transversales; 

 or il est facile de démontrer que ces 5 dernières seront toutes rencontrées 

 elles-mêmes par une autre droite, disons Ç; elles peuvent être convenable- 

 ment nommées «, |3, y, <?, e, où a est la seconde transversale à b, c, d, e, (i k 

 rt, c,d, e, etc. 



» Je fais une seconde observation très-importante, voir que 6 droites 

 dont 5 sont coupées par la 6% sont situées sur la même surface du 3^ degré, 

 et réciproquement tout système de 5 droites sur une surface du 3* degré qui 

 ne se coupent pas entre elles sont coupées par la même droite. Je dois ajou- 

 ter que si 5 droites sont toutes coupées par les mêmes 1 lignes droites, on 

 peut faire passer un nombre infini de surfaces du 3* degré par ces 7 lignes, 

 parmi lesquelles se trouveront comprises a surfaces réglées, et le théorème 

 réciproque aura aussi lien. 



» Ecrivons les 1 2 lignes 



■r 



a b c d e 



a /3 7 (? £ 



ou on suppose que a, h, c, d, esont rencontrées par jc, mais non par aucune 

 autre droite, et que a, /3, 7, c?, £ sont les 5 transversales à à, b, r, d, e prises 

 quatre à quatre et Ç la transversale commune k a^yâz. 



<> Formons encore le système ABCDE, où A est la transversale à xaa^, 



