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 B:ixh[i'^, Cà.rc;!, Dkxdâç,, Ekxes.^; c'est-à-dire A est rintersection 

 des plans qui passent respectivement par xrt, S,ot. et de même pour B, C, 

 D, E. 



» Finalement menons les lo transversales désignées par la combinaison 

 des symboles des 4 lignes qu'elles rencontrent respectivement, c'est-à-due 

 a/y.b^, aot.cy, arj.dè, du.ei^ ^'P^V, h^lè^ h^ee, cydâ, câee, dâes. 

 Il est bon de remarquer que les deux droites a, j3 se croisent, comme aussi 

 b, a, et que nab[i signifie l'intersection des deux plans de ajS, ba.. Une re- 

 marque semblable a lieu pour les autres droites de cette série de lo. On 

 voit qu'on a obtenu 



i-l-5-t-5+ 1 + 5+ io= 27 droites. 



11 est facile de démontrer géométriquement que toutes ces droites sont 

 situées sur la même siu'face du 3" degré, et que celte surface ne contiendra 

 pas aucune autre ligne droite sur elle. Je dois ajouter, poiurendie plus com- 

 plète l'image de ce système de o.'j droites, que les 10 dernières couperont 

 chacune 6 autres au-dessus des t\ exprimées par ia notalion quaternaire 

 mén'e, c'est-à-dire «a ip ne rencontrera pas seulement a^a^b^ j3, mais aussi 

 C, D, E et cydâ, cyes, d^et et ainsi pour les autres, de sorte qu'on trou- 

 vera facilement que chaque droite des 27 sera rencontrée par 10 autres, 

 chaque combinaison de 3 qui ne se rencontrent pas par 3 autres qui ne se 

 rencontrent pas, chaque combinaison de 4 qui ne se rencontrent pas par 

 a autres sur la surface, etc.; conformément aux beaux résultats deMM.Salmon 

 et Cayley, déjà, il y a longtemps, donnés dans le Cambridge and Dubbn Ma- 

 thematical Journal. 



» On peut résumer en peu de mots la construction précédente. 



» 5 droites rencontrées par une G' étant données, on construit 5 autres 

 rencontrées par une nouvelle 6*, telles que chaque droite d'un des groupes 

 de 5 rencontre 4 de l'autre groupe. Les 12 droites ainsi liées s'entrecoupent 

 (par construction) en 2x54-5x4» c'est-à-dire en 3o points et consé- 

 quemment sont situées deux à deux en 3o plans dont chacun joint d'un rapport 

 de réciprocité avec quelque autre. Les intersections de cespaires des plans réci- 

 proques donnent naissance à i5 nouvelles droites, lesquelf s, combinées 

 avec les 12 déjà nommées, constituent un systemo (le plus général qui peut 

 exister) de 27 droites réelles appartenant à une surface du 3*^ degré. 11 va 

 sans dire qu'il existe des surfaces de ce degré pour lesquelles les 27 droites 

 ne sont pas toutes réelles. 



•' Je me propose de faire loustiiiire en tii de fer ou d'archal im SNstènic 



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