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11 c'est sous ce double point de vue que M. Transon a traité ce sujet, 

 qu'il a envisagé dans toute sa généralité. Il est parvenu à des résultats nou- 

 veaux et intéressants. 



;> l,e but principal de ses recherches paraît avoir été de trouver un mode 

 de distribution de toutes les droites de l'espace en groupes de droites nor- 

 males, disons, pour abréger, en groupes normaux à certaines surfaces; et 

 cela dans tous les cas, c'est-à-dire quelles cjue soient les fonctions des coor- 

 données X, ^, z qui déterminent les directions des droites; mais en aban- 

 .ioiniant la condition à laquelle on s'est arrêté jusqu'ici, que la surface lieu 

 des points de départ des droites soit elle-même une des surfaces normales à 

 ces droites. 



» Abordons les considérations analytiques que comporte la question. 



». Soient x, j, z les coordonnées d'un point de l'espace, et X, Y, Z les 

 cosuius des angles que la droite qui part de ce point fait avec les trois axes 

 coordonnés (supposés rectangulaires) : ces cosinus sont des fonctions données 

 de X, Y, z, satisfaisant, bien entendu, à l'équation 



X* -+- Y^ -^ Z= = I . 



» Si l'on demande de mener par un point A de l'espace une surface qui soit 

 normale aux droites qui partent de ses points, on trouve, comme l'a montré 

 M. Bertrand, dans son beau Mémoire sur la théorie des surfaces ( i ), que cela 

 n'est pas possible, en général; et que l'existence d'une telle surface est subor- 

 donnée à la condition d'intégrabilité de l'équation 



Xcix -+- Ydj -+■ Zdz = o, 



qui exprimé que la droite correspondante au point (.r, j, z) est normale a 

 Ih surface qui passe par ce point. 



» Cette condition d'intégrabilité se réduit, d'après Euler, comme on. sait, 

 à l'équation 



r/Y _ rlZ\ /rfZ rfX\ /(/\ _ riY\ _ 



<iz dy I \ dj: dz I \ dy dx ) 



» Mais M. Bertrand en a trouvé une expression purement géométrique; il 

 a démontré que : 



». Pour ijue des droites, dont la direction est donnée en Jonction des coordoti- 



(i) \oir Journal de Atat/iéinntii/urs de M. Liouville, t. IX, \>. i33-l54; année i844- 



