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 nées de leur point de départ, puissent être normales à une série de surfaces, il 

 faut et il suffit qu'en prenant un point quelcompie A dans l'espace et la droite ÂiS 

 correspondante à ce point, puis portant perpendiculairement à AN^ à partir du 

 point A, deux longueurs infiniment petites AB, AC, égales et perpendiculaires 

 entre elles, les droites correspondantes aux points B et C fassent respectivement 

 avec les plans NAB, NAC deux angles égaux (i). 



» Ainsi, en général, un ensemble de droites menées par tous les points 

 de l'espace, d'après une loi quelconque, ne se partage point en groupes nor- 

 maux à des surfaces lieux des points de départ des droites. 



» Mais ces mêmes droites se peuvent-elles distribuer en groupes normaux 

 à des surfaces différentes de celles des points de départ de chaque groupe? 

 Telle est la question que s'est proposée M. Transon, et qu'il résout affir- 

 mativement. 



)) Il démontre, en effet, que de tels groupes de droites, ou de telles sur- 

 faces existent, quelle que soit la loi suivant laquelle sont menées les droites 

 correspondantes à fous les points de l'espace. 



» Non-seulement ces surfaces existent toujours, mais elles peuvent être 

 formées de bien des manières différentes, même dans le cas particulier où 

 il existe des surfaces normales aux groupes de droites qui partent de leurs 

 points; ces surfaces particulières n'offrent alors qu'une des solutions nom- 

 breuses de la question. 



La marche suivie par M. Transon consiste à introduire dans son analyse 

 une fonction des coordonnées x,j, z, qu'il regarde comme exprimant la 

 longueur d'une ligne. Il porte cette longueur sur chaque droite de l'espace, 



(i) Cette propriété remarquable des normales à une surface a conduit M. Sturin à unt 

 généralisation concernant le système des droites menées de tous les points de l'espace d'après 

 une loi quelconque; il énonce ainsi son théorème : 



Si l'on considère un système de lignes droites disposées dans l'espace suivant une loi luia- 

 ly tique quelconque et qui ne puissent être normales à aucune surface, en prenant un point 

 quelconque O dans l'espace et la droite OZ correspondante à ce point, puis portant per- 

 pendiculairement à OZ deu:c longueurs infiniment petites OM, OM', égales et perpendiculaires 

 entre elles, les angles infiniment petits jx et (i' que feront la droite correspondante au 

 point M ai'ec le plan ZOM, et la droite correspondante au point M' avec le plan ZOM' auront 

 leur somme algébrique ( (* + pt' ) différente de zéro et constante, quelles que soient les direc- 

 tions des deux lignes OM, OM', pourvu qu'elles soient toujours égales, perpendiculaires l'une 

 à l'autre et à OZ au même point O. La somme (p. + p') est nulle dans le seul cas où les 

 droites du système sont normales à une même surface. [Mémoire, sur la Vision; Comptes 

 rendus de CAcadémie , t. XX, p. 1245; année i845.) 



