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 que la droite correspondante à A' rencontre celle du point A, les points A' 

 se trouvent sur un cône du second ordre ; c'est-à-dire que les directions AA' 

 sont les arêtes du cône. Ce théorème est dû à Malus qui a donné l'équation 

 du cône dans son premier Mémoire sur l'optique {voir XIV cahier du Jour- 

 nal de l'Ecole Polyleclmicjue, p. 3; année 1808). Toutefois ce théorème se 

 pouvait conclure immédiatement de celui de Monge. Car d'après celui-ci 

 tout plan mené par le point A ne peut rencontrer le cône lieu des droites 

 AA' que suivant deux arêtes; ce qui indique que ce cône est nécessairement 

 du second ordre. 



)> Voici l'usage que fait M. Transon de ce cône pour construire les plans 

 résolvants. Qu'autour de la droite de l'espace correspondante au point A, 

 qui est une arête du cône, on fasse tourner deux plans rectangulaires, dont 

 chacun coupera le cône suivant une autre arête : le plan des deux arêtes 

 ainsi obtenues est un plan résolvant. 



» Une considération bien simple montre qu'd doit en être ainsi; car 

 d'une part les droites de l'espace correspondantes à deux points A' et A" 

 pris sur les arêtes du cône rencontrent la droite du point A, puisque telle 

 est la propriété du cône; mais, d'autre part, ces droites étant normales à 

 une surface (M'), d'après le résultat fondamental de M. Transon, il s'ensuit, 

 en vertu du théorème de Monge sur les normales à une surface, que les 

 deux plans dans lesquels les droites des points A' et A" rencontrent celle 

 du point A, sont les plans des courbures principales de la surface (M') en 

 son point correspondant au point A, et par suite que ces plans sont rec- 

 tangulaires. La construction des plans résolvants, au moyen du cône de 

 Malus, se trouve donc démontrée directement. 



» On voit aussi tout naturellement, comme le faitremarquer M. Transon, 

 que ces plans doivent passer par une même droite, en vertu d'une pro- 

 priété générale des cônes du second ordre, puisque les deux plans rectan- 

 gulaires qui servent à les déterminer tournent autour d'une arête fixe du 

 cône. Ajoutons, ce qui précisera davantage la position de cette droite, inter- 

 section commune des plans résolvants, qu'elle se trouve dans le plan nor- 

 mal au cône suivant cette arête fixe. 



» Les plans résolvants donnent lieu, individuellement et dans leur en- 

 semble, à d'autres propriétés. 



)) Chacun de ces plans étant tangent en A à une surface résolvante, les 

 droites de l'espace qui partent des points de ce plan pris sur un contour 

 infiniment petit tracé autour du point A sont toutes normales à une surface 



C. R., 1861, 1" Semeslre. (T. LU, N» 20.) • 33 



