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GÉOMÉTRIE. — Sur les six droites qui peuvent être les directions de six forces en 

 équilibre. — Propriétés de Ihyperboloide à une nappe ri d'une certaine surfaa 

 du quatrième ordre; par M. Chasles. 



H A la suite de la Note de M. Syhester sur les systèmes de six droites qui 

 peuvent être les directions de six forces se faisant équilibre, j'ai annoncé que, 

 pour former im tel système, il suffisait de mener arbitrairement, par six 

 points d'un corps en mouvement, des droites normales aux trajectoires de 

 ces points. (Séance du i 5 avril, Comptes rendus, p. 745. ) 



» M Svlvester, dans sa dernière communication à l'Académie (i3 mai, 

 Comptes rendus, p. 977), relative au système des vingt-sept droites qu'on peut 

 placer sur une surface du troisième ordre, a confirmé ma proposition par un 

 raisonnement très-simple tiré du principe des vitesses virtuelles. 



» Je reviens, à cette occasion, sur la question des six droites, pour dé- 

 montrer cKrectement la proposition réciproque qui est la plus importante, 

 parce qu'elle comporte à elle seule les propriétés principales de cette 

 théorie, en les ramenant à celles du déplacement infiniment petit d'un corps 

 solide, que j'ai fait connaître il y a longtemps {Comptes rendus, t. XVI, 

 p. 1420-1432; année i843). 



» Voici l'énoncé de la proposition dont il s'agit : 



» Quand six forces qui sollicitent un corps solide se font équilibre, on peut 

 donner au corps un mouvement infiniment petit dans lc(juel les trajectoires des 

 points d'application des forces seront normales aux directions de ces forces, res- 

 pectivement, 



» Ce mouvement infiniment petit est unique et déterminé, et reste le même, 

 quels que soient les f)oints des six forces qu'on regarde comme leurs points 

 d'application . 



» La démonstration de cette proposition demande que nous rappelions 

 quelques notions sur le mouvement infiniment petit d'un corps. 



» I ° Quand un corps éprouve un mouvement infiniment petit quelconque, ce 

 déplacement peut être produit, d'une infinité de manières, par deux simples rota- 

 tions autour de deux axes. 



■'< 1" Un de ces axes peut être pris arbitrairement, l'autre s'oisuit, par cette 

 considération, que les plans normaux aux trajectoires des points d une droite 

 passent tous par une autre droite, et que réciproquement les plans normaux aux 

 trajectoires ^es points de cette seconde droite passent tous par la première. 



» Nous avons appelé ces couples de droites axes de rotation conjugués, et 

 les rotations, rotations conjuguées. 



» 3" Quant une droite est normale à la trajectoire d'un de ses points, elle est 



