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 normale aux trajectoires de tous ses autres points; de sorte que cette droite est 

 elle-même sa conjucjuée, et conséquemment est impropre à faire un système 

 de rotations conjuguées. 



» De là dérivent immédiatement les conséquences suivantes : 



» 4° Toute transversale qui s'appuie sur deux axes conjugués est normale aux 

 trajectoires de tous ses points. 



» 5° Si par un point d'une droite prise pour axe de rotation on mène une nor- 

 male à la trajectoire de ce point, cette normale rencontre l'axe de rotation conjugué. 



» 6"^ Quand un axe s'appuie sur deux droites dont chacune est normale aux 

 trajectoires de «es points, l'axe conjugué s'appuie sur les deux mêmes droites. 



» Et conséquemment : Quand quatre droites sont normales chacune aux tra- 

 jectoires de ses points, les deux transversales qui, en général, s appuient sur les 

 quatre droites, sont deux axes de rotation conjugués. 



» 7° Deux couples d'cLxes conjugués Jorment quatre génératrices d'un même 

 mode de génération d'un hyperboloïde. 



» Car toute droite qui s'appuie sur trois de ces axes est normale aux tra- 

 jectoires de tous ses points, puisqu'elle s'appuie sur deux axes conjugués (4°), 

 et elle rencontre le quatrième axe parce qu'elle s'appuie sur son conju- 

 gué (5°). 



» Ces propositions intuitives conduisent à deux théorèmes, dont le pre- 

 mier concerne quatre génératrices d'un hyperboloïde, et le second cinq 

 droites quelconques de l'espace. 



)i Théorème I. Quand quatre droites A, B, C, D sont des génératrices 

 d'un même système de génération d'un hjperboloïde, on peut déterminer un 

 mouvement infiniment petit de tous les points de l'espace, et un seul, dans lequel 

 les deux droites A, B seront deux axes de rotation conjugués, ainsi que les deux 

 droites C, D 



B En effet, concevons une transversale L qui s'appuie sur les quatre 

 droites données, et soit d le point où elle rencontre la quatrième D. Les 

 rotations autour des deux axes A et B donnent au point d deux mouvements 

 intîuiment petits dd', dd"; une rotation autour de la droite C lui donnera 

 un mouvement dd'". Ces trois mouvements sont dans un même plan perpen- 

 diculaire à la transversale L, comme étant perpendiculaires respectivement 

 aux trois plans (A, L), (B, L), (C, L) qui passent par cette droite L. Qu'on 

 prenne dd'" de longueur arbitraire, et dd', dd" de manière que dd" soit 

 le mouvement résultant de ces deux-là, condition qui suffit pour les déter- 

 miner, puisqu'on aura 



dd'=dd"' A'''''f;:"n:^ ^ ^d"=dd'".tYS^. 



sm[M, dd") sin ( dd , dd ] 



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