( '099 ) 



» Ces couples de droites jouissent de nombreuses propriétés que j'ai 

 exposées ailleurs (i) et sur lesquelles je ne reviendrai pas. 



M Mais je veux ici montrer que toutes ces propriétés de l'hyperboloïde à 

 une nappe, qui dérivent naturellement de la considération du mouvement 

 infiniment petit, se retrouvent dans des surfaces réglées du quatrième ordre 

 qu'on forme en faisant tourner les génératrices de l'hyperboloïde autour 

 des points dans lesquels elles rencontrent une section plane de la surface; 

 en d'autres termes, en déformant d'une certaine manière l'hyperboloïde. 



)i Concevons deux sections planes quelconques de l'hyperboloïde, qui 

 seront deux coniques C, C Toutes les génératrices d'un même système 

 rencontrent ces deux courbes en des points a, b, c,... sur lune, et a', b', 

 c',... sur l'autre. 



» Que l'on déplace la conique C, et qu'on lui donne une position quel- 

 conque par rapport à C restée fixe; qu'on joigne les points a, b, c,... de 

 celle-ci à leurs correspondants a', b', c',... dans leur nouvelle position, par 

 des droites flfl', hb',... : ces (/?oïtes (qu'on peut considérer comme les généra- 

 trices de l'hyperboloïde qui auraient tourné autour de leurs pieds a, b. 

 c,...) , forment une surface du quatrième ordre. 



» Cette surface pourra se réduire au troisième ordre, ou au second 

 ordre, c'est-à-dire redevenir un hyperboloïde ou un cône; elle pourra 

 même se réduire à un plan, les génératrices devenant alors les tangentes 

 d'une courbe de quatrième ou troisième classe, ou d'une conique. 



» Cette sur/ace du quatrième ordre a, comme l'hjperboloïde primitif, la 

 propriété de pouvoir recevoir un mouvement infiniment petit dans lequel toutes 

 ses génératrices seront normales à leurs trajectoires. 



» Pour déterminer ce mouvement, qui est unique, il suffit de prendre 

 deux systèmes de quatre génératrices quelconques de la surface, et de 

 chercher les deux transversales qui s'appuient sur les quatre génératrices 

 de chaque système. Les deux couples de transversales ainsi obtenues seront 

 deux couples d'axes conjugués de rotation, et détermineront le mou\ ement 

 infiniment petit. 



M Chaque système, de quatre génératrices de la surface du quatrième 

 ordre donnera lieu à deux transversales s'appuyant sur ces quatre droites. 



» Tous ces couples de transversales jouiront de toutes les propriétés géomé- 

 triques des couples de génératrices conjuguées du premier mode de génération de 

 C hyperboloïde, et en général de toutes les propriétés des systèmes d'axes de 

 rotation conjugués, dans le mouvement infiniment petit d'un corps. 



(l) Journal de Matliémaliqucs ; t. IV, p. 3()8. — Com/itn- rrnr/us : t. XVI, ji, f/\9g. 



