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» Mais, sans nous arrêter sur ces détails, faisons connaître les propriétés 

 £;éoniétriques principales de la surface du quatrième ordre dont il s'agit. 



)) i" Chaque (jénéralrice de la surface est rencontrée par deux outres cjéne- 

 ratrices, et par deux seulement : les points de rencontre de toutes ces génératrices 

 Jonnent une courbe à double courbure du troisième ordre [une cubique qauche). 



« 2° Ln droite qui joint le point de rencontre de deux génératrices au point 

 de rencontre de deux autres^ et lu droite d'intersection du plan des deux premières 

 ijenérali ices par le plan des deux autres, forment un système d'axes de rotation 

 conjugués dans le mouvement infiniment petit de la surface. 



» De sorte que ces deux droites jouissent des mêmes propriétés que les 

 couples de transversales qui s'appuient sur quatre génératrices de la surface. 



» 3° Les plans dans lesquels les généralrices se rencontrent ainsi deux à deux 

 forment une développable du quatrième ordre circonscrite à la surface réglée. 



n 4° Réciproquement, quand une développable du quatrième ordre éprouve 

 un déplacement infiniment petit, si par le foyer (i) de chaque plan tangent à cette 

 surface, on mène les deux autres plans tangents qui passent par ce point., lesquels 

 couperont te premier suii'ant deux droites, toutes les droites ainsi déterminées 

 formeront la surface réglée du quatrième ordre. 



n C'est de cette propriété de la développable du quatrième ordre, facile 

 à démontrer, que l'on conclut que la surface réglée formée au moyen de 

 rhvperboloïde, peut prendre un mouvement infiniment petit dans lequel 

 ses génératrices sont normales aux trajectoires de leurs points. 



» 5° Les plans tangents à la développable coupent la surface réglée à laquelle 

 elle est circonscrite, suivant des conicjues, au nombre desquelles sont les deux 

 coniques primitives C, C. 



« 6" Les génératrices a a', bb', ... de la surface rencontrent toutes ces coni- 

 ques en des points qui divisent ces courbes homograpliiquement; c'est-à-dire que 

 les figures formées dans les plans des coniques par ces points sont homogra- 

 phiques entre elles, comme cela a lieu à l'égard des deux coniques primi- 

 tives C, C dans l'hyperboloïde. 



)i 7" Réciproquement, les plans des coniques divisent homograpliiquement 

 les génératrices de la surface. 



» Plus généralement, ces plans divisent homograpliiquement toutes les droites 

 suivant lesquelles ils se coupent deux à deux. 



n 8" Les cànts circonscrits à la surface, qui ont pour sommets les points d in- 

 tersection des génératrices, c'est-à-dire les points de la cubique gauche, sont du 

 second ordre (a). 



Il Compte.'! rrnr/iis; t. XVI, p. 1420. 

 (2) On reronnaît à cette propriété la surface que M. Cayley a formée avec les cordes 



