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» 9° Les plans lam/cnts à loiis ces cônes, lesquels passent par les cjénéralrices 

 de la surjace, lonclient les cônes suivant des arêtes qui Jorment sur leurs surfaces 

 des figures lionwgrapliiques. 



» Jo° Et réciproquement, tes points dans lesquels ces plans tangents touchent 

 les génératrices de la surface divisent liomographiquement toutes ces droites ( i ). 



Antre construction de la surface du quatrième ordre. 



» On peut se servir de l'hyperboloïde à une nappe pour former d'une 

 autre manière une surface réglée du quatrième ordre qui présentera les 

 mêmes propriétés que nous venons de trouver. 



» Concevons deux cônes circonscrits à l'hyperboloïde. Chaque généra- 

 trice d'un même système les touche en deux points a, a', et détermine sur 

 leurs surfaces deux arêtes A, A'. De sorte qu'on aura sur un cône des 

 arêtes A, B, ... et sur l'autre des arêtes correspondantes A', B', .... 



» Qu'on déplace le second cône et qu'on lui donne une position quel- 

 conque par rapport au premier : 



» Les plans tangents aux cônes suivant les arêtes A, B , . . . , et A', B', . . . res- 

 pectivement, se couperont deux à deux suivant des droites qui formeront une 

 surface du quatrième ordre. 



» Cette surface, de même espèce que la précédente, jouira des mêmes 

 propriétés. Ainsi on pourra lui donner un mouvement infiniment petit dans le- 

 quel ses génér'atrices seront toutes normales aux trajectoires de lenr^s points. 



» Conséquemment, six quelconques de ces dr-oites pourront être prises pour 

 les directions de sixjorces en équililu'e ; etc., etc. 



d'une cubique gauche. Je profite de cette occasion pour insérer la Note suivante de M. Cayley, 

 qui est parvenue trop tard pour être jointe à sa coinmunicalion du ao mai {Comptes rendus, 

 p. io36) : <i L'idée que les six droites en involution devraient être situées sur une surface 

 » du quatrième ordre s'était offerte à M. Syivester ; et en cherchant si cela était vrai, j'ai 

 » été conduit aux théorèmes qui font le sujet de ma communication. » 



( I ) Il existe dans plusieurs établissements, notamment dans les riches collections du Con- 

 servatoire des Arts et Métiers, des modèles variés de l'hyperboloïde, qui montrent son double 

 système de génération par des droites. Il serait intéressant, et cela ne présenterait aucune 

 difficulté, d'approprier ces modèles aux diverses déformations de l'hyperboloïde qui donnent 

 des surfaces du quatrième et du troisième ordre, des cônes du deuxième ordre, et même des 

 courbes planes de troisième et quatrième classe, et de simples coniques. Ce qui précède 

 comprend la théorie de ces transformations. Il nous suffira d'ajouter que si au lieu de la co- 

 nique C, c'est sur une droite L de l'hyperboloïde (ju'on prend les points a', b', c' . . cor- 

 respondants aux points a, b, c. . . de la conique C, et qu'on déplace ia droite L pour lui 

 donner une position quelconque, les droites aa', bb',... formeront une surface du troisième 

 ordre, et envelopperont sur le plan une courbe de troisième classe ou une conique. 



C. K., 1861, 1" Semestre. (T. LU, N" 22, J '44 



