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 points homologues; les droites qui joindront les points homologues des 

 deux coniques formeront un hyperboloïde. On peut donc considérer la sur- 

 face du quatrième ordre formée par les tangentes aux trajectoires des pouits 

 d'une conique, comme provenant de la déformation de cet hyperboloide. 



» Il est une autre manière de former une surface du quatrième ordre 

 avec des tangentes aux trajectoires des points d'un corps en mouvement. 



» Il suffit de donner un mouvement infiniment petit à lui cône du 

 second ordre. Chacun de ses plans tangents éprouvera une simple rota- 

 tion autour d'une certaine droite de ce plan ; cette droite, appelée la carai- 

 léristique du plan (i), est tangente à la trajectoire d'un de ses points. 



« Or les criractéristiques de tous les plans ((nu/eiils au cane forment une sur- 

 face du quatrième ordre. 



« Et celte surface jouit de toutes les propriétés de la précédente. 



') On peut lui donne)' an mouvement infiniment petit dans lequel toutes les 

 génératrices seront normales aux trajectoires de leurs points. 



» Etc., etc. 



Description de courbes à double courbure de tous les ordres sur l'Iiyperboloide h une nappe. 



» L'hyperboloïde jouit d'une propriété qui n'appartient peut-être point 

 à une autre "surface d'un ordre quelconque ; c'est que Von peut tracer sui 

 sa surface des courbes à double courbure de tous les ordres. 



>) D'abord pour les ordres pairs, c'est évident; caria courbe d'intersec- 

 tion d'un hyperboloide par une surface d'ordre m est une courbe à double 

 courbure d'ordre pair im. 



» Mais on peut aussi tracer sur l'hyperboloïde, et cela au moyen de sur- 

 faces d'ordre ?n, des courbes à double courbure d'ordre impair irn -\- i . 



o Cette proposition résultera d'un mode de génération des courbes à 

 double courbure que j'ai déjà appliqué aux courbes du troisième ordre (2}, 

 et dont voici l'énoncé général : 



" Si l'on a trois Jaisceaux de surfaces d'ordre m, n, p respectivement, dans 

 lesquels les surfaces se correspondent trois à trois anharmoniquenient, le lieu 

 des points d' intersection de trois surfaces correspondantes est une courbe à double 

 courbure d'ordre (mn + np -+- pni. ) 



)) C'est-à-dire que cette courbe est rencontrée en [mn ■+■ np + pm) points 

 par un plan quelconque. 



» Que l'on prenne pour les sin-facesdu second faisceau, des plans passant 



(i) Comptes rendus ; t. XVI, p. 1420. 



(2) Aperçu historique, p. 4o5, art. 8, 9, 10. — Comptes rendus ; t. XLV, p. igS. 



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