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contact de l'ellijjsoïde avec les deux sphères, les surfaces de révolution dont 

 les contacts avec les deux sphères sont situés entre les deux plans déter- 

 minent toutes les lignes de courbure d'un système, et celles dont les con- 

 tacts sont situés hors des deux plans déterminent toutes les lignes de cour- 

 bure de l'autre système. 



>i II y a trois manières d'obtenir les lignes de courbure de lellipsoïde 

 ])ar son intersection avec des surfaces de révolution du second ordre, sui- 

 vant que l'on prend pour axe de révolution de ces surfaces l'un des trois 

 axes de l'ellipsoïde. 



» Surfaces de révolution aulour du yrand axe. — Soient r, , r.^ les deux 

 rayons de courbure principaux menés à l'extrémité du grand axe de l'ellip- 

 soide, a, , a, les distances des deux centres de courbure an centre de 

 l'ellipsoïde. Le rayon des sphères doublement tangentes à cette surface 

 seia /• = y/', r^; la distance de leurs centres au centre de l'ellipsoïde sera 

 a = y'a, Kj-, elles sont tangentes intérieurement à l'ellipsoïde aux deux 

 points ombilicaux symétriques par rapport au grand axe ; elles peuvent 

 être ou extérieures l'une à l'autre _, ou tangentes extérieurement, ou 

 sécantes. 



» Dans le premier cas, l'ensemble des surfaces de révolution tangentes 

 aux deux sphères se compose des groupes suivants : i ° Hyperboloïdes à deux 

 nappes, commençant par le plan qui contient l'axe moyen et le petit axe de 

 l'ellipsoïde, et finissant par le cône circonscrit aux deux sphères. Les 

 hyperboloïdes de ce groupe sont d'abord tangents imaginairement , et 

 ensuite réellement aux deux sphères. 2° Hyperboloïdes à ime nappe, tan- 

 gents réellement aux deux sphères. Ce groupe se termine par le cylindre 

 circonscrit aux deux sphères. 3" Ellipsoïdes tangents réellement aux deux 

 sphères. La courbe méridienne est une ellipse dont le grand axe est décrois- 

 sant à partir de l'infini, et devient égal au grand axe de l'ellipsoïde proposé, 

 tandis que le petit axe est croissant à partir du rayon des sphères et devient 

 égal au petit axe de l'ellipsoïde proposé. 4° Ellipsoïdes tangents d'abord 

 réellement, et ensuite imaginairement aux deux sphères. Leur courbe méri- 

 dienne est une ellipse d'abord plus petite que la plus grande section princi- 

 pale de l'ellipsoïde donné, puis égale à cette section, et enfin de plus en plus 

 grande. 



)) Les surfaces des trois premiers groupes déterminent les lignes de 

 courbure du premier système, c est-à-dire celles qui se projettent suivant 

 des hyperboles sur le plus grand plan principal de l'ellipsoïde proposé. 



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