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Les surfaces du quatrième groupe déterminent les lignes de courbure du 

 second système. 



» Lorsque les sphères sont tangentes entre elles ou sécantes, le premier 

 groupe se réduit au plan tangent aux deux sphères en leur point de contact, 

 ou au plan qui passe par le cercle de leur intersection commune, en ne pre- 

 nant du plan que la partie extérieure au cercle. Les autres groupes ne sont 

 pas altérés. On doit remarquer que, dans le cas où les deux sphères se cou- 

 pent, il y a un nouveau groupe d'ellipsoïdes de révolution qui sont tangents 

 aux deux sphères; mais, comme ils sont intérieurs à ces deux sphères, ils 

 ne concoiu'ent pas à la formation des lignes de courbure. 



» Surfaces de révolution autour du petit axe. — Les deux sphères con- 

 struites d'après les conditions du théorème sont réelles et se coupent néces- 

 sairement. L'ellipsoïde donné est tangent intérieurement à chacune des deux 

 sphères aux deux ombilics symétriques par rapport au petit axe. Il n'j' a pas 

 lieu de considérer les surfaces de révolution circonscrites aux deux sphères, 

 mais seulement celles qui leur sont inscrites. Cette série du genre ellipsoïdal 

 pftut être partagée en deux groupes. Le premier, comprenant tous les ellip- 

 soïdes de révolution dont l'ellipse méridienne est telle, que l'un de ses axes 

 (celui autour duquel se fait la révolution) est croissant à partir de zéro, se 

 trouve toujours moindre que le petit axe de l'ellipsoïde proposé, et finit par 

 lui être égal, tandis que l'autre axe est décroissant à partir du rayon du 

 cercle d'intersection des deux sphères, reste toujours plus grand que le 

 grand axe de l'ellipsoïde et finit par lui être égal. Le second groupe se 

 compose d'ellipsoïdes dont la courbe méridienne est une ellipse telle, que 

 l'axe autour duquel se fait la révolution est successivement croissant et de- 

 croissant, reste plus grand que le petit axe de l'ellipsoïde donné, et l'atteint 

 à la limite, tandis que l'autre axe est toujours décroissant, plus grand que 

 l'axe moyen de l'ellipsoïde, et l'atteint à la limite. Lorsque l'ellipse méri- 

 dienne a ses deux axes moindres que ceux de la section principale moyenne, 

 les surfaces de révolution ne coupent plus l'ellipsoïde, mais lui sont inté- 

 rieures. 



» Les surfaces de révolution du premier groupe déterminent les lignes de 

 courbure du second système. Les surfaces de révolution du second groupe 

 déterminent les surfaces de révolution du premier système. 



» Surfaces de révolution cmlour de l'axe moyen. — Si l'on veut construire, 

 d'après les conditions du théorème, les deux sphères doublement tangentes 

 à l'ellipsoïde, et ayant leurs centres sur l'axe moyen, on trouve qu'elles 

 sont imaginaires. Mais les surfaces de révolution tangentes à ces deux 



