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 ment six ou sept segments quelconques, résultera de deux théorèmes gé- 

 néraux que nous emprunterons à la théorie des surfaces du second ordre 

 et à celle des figures homographiques, mais que nous démontrerons en 

 traitant de ces matières, dans un autre moment. 



» Théorème I. Quand des surfaces du second ordre divisent harnionique- 

 ment six segments pris sur six droites placées d'une manière quelconque dans 

 l'espace, les plans polaires de quatre points quelconques P, Q , . . . non situés dam 

 un même plan, relatifs à toutes ces surfaces, forment quatre figures homogra- 

 phiques entre elles. 



» C'est-à-dire que les plans polaires du point P forment une première 

 figure, ceux du point Q la seconde figure ; les plans homologues des deux 

 figures appartenant à une même surface; et ainsi des autres. 



» Théorème II. Etant données quatre figures homographiques dans l'espace, 

 le lieu d'un point par où. passent quatre plans homologues des quatre figures, est 

 une surface du quatrième ordre. 



» Théorème III. Le lieu des sommets des cônes du second ordre qui divisent 

 harmoniquement six segments rectilignes placés d'une manière quelconque dcms 

 l'espace^ est une surface du quatrième ordre. 



» En effet, les cônes font partie d'un ensemble de surfaces du second 

 ordre divisant harmoniquement les six segments. Les plans polaires de 

 quatre points P, Q... (non situés dans un même plan) par rapport à ces 

 surfaces forment quatre figures homographiques (Théorème I). Or il existe 

 une surface du quatrième ordre par chacun des points de laquelle passent 

 quatre plans homologues, c'est-à-dire quatre plans polaires relatifs à une 

 même surface (Théorème II). Mais les plans polaires de quatre points de 

 l'espace (non situés dans un même plan) relatifs à une même surface du second 

 ordre, ne peuvent passer par un même point, qu'autant que cette surface 

 est un cône. Les points de la surface du quatrième ordre sont donc les 

 sommets des cônes qui font partie de l'ensemble des surfaces du second 

 ordre que l'on considère. Ce qui démontre le théorème. 



)) Théorème IV. Le lieu des sommets des cônes du second ordre qui divisent 

 harmoniquement sept segments, est une courbe à double courbure du sixième 

 ordre. 



» Concevons l'ensemble des surfaces du second ordre qui divisent har- 

 moniquement les sept segments. Une propriété de ces surfaces, c'est que 

 les plans polaires d'un point quelconque P de l'espace passent tous par un 

 même point P'. Les plans polaires de trois autres points Q, R, S passeront 

 de même par trois points Q', R', S'. On a donc quatre faisceaux de plans 



