( 1-59 ) 

 autour des quatre points P', Q', etc. Ces faisceaux sont homographiques, et 

 le lieu des points d'intersection de quatre plans homologues est une 

 courbe à double courbure du sixième ordre. Or il est clair, de même que 

 dans le théorème précédent, que chacun des points de cette courbe est le 

 sommet d'un des cônes qui font partie du système des surfaces du second 

 ordre. Ainsi le théorème est démontré. 



» Si l'on suppose que tous les segments se réduisent à des points a, b,. . . , 

 il résulte du théorème III, que : 



» Théorème V. Le lieu des sommets des cônes du second ordre qui passent 

 par six points donnés dans l'espace, est une surjace du quatrième ordre. 



» Les six points déterminent une courbe à double courbure du troisième 

 ordre (une cubique gauche), dont chaque point est le sommet d'un cône du 

 second ordre passant par les six points; par conséquent ce»e coH?'6e es< s/inee 

 sur la surface du quatrième ordre. 



» Les six points joints deux à deux donnent quinze droites. Ces quinze droites 

 sont évidemment sur la surjace. Car les droites menées d'un point quelconque 

 de l'une de ces droites aux six points se réduisent à cinq qui déterminent 

 un cône satisfaisant à la question. 



M Quinze autres droites sont aussi situées sur la surface; ce ?,ont]es,(\mt\zQàro\\.es 

 d'intersection des couples de plans déterminés par les six points pris trois 

 à trois, tels que abc et dej ; car ces deux plans représentent un cône qui 

 satisfait à la question, et pour sommet duquel on peut prendre un point 

 quelconque de la droite d'intersection des deux plans (*). 



» On démontre aisément que : Toute droite menée par un des six points 

 donnés ne rencontre la surface du quatrième ordre qu en deux points. (Ces points 

 sont ceux où une cubique gauche menée par les cinq autres points s'appuie 

 sur la droite menée par le premier.) (**) 



» Il en résulte que chacun des six points est, sur la surface du quatrième 

 ordre, un point singulier qui forme la gorge d'un nœud. 



» Ainsi la surface a six nœuds. 



» On peut construire la surface par points, de différentes manières. On 



(*) La considération de ces deux systèmes de quinze droites situées sur la surface lieu des 

 sommets des cônes suffit pour montrer que c'est par suite d'une inadvertance qu'on lit dans 

 l'Aperçu historique, p. 4o3 : « Le lieu géométrique des sommets des cônes du second degré 

 » qui passent tous par six points donnés dans l'espace est la courbe à double courbure du 

 » troisième degré déterminée par ces six points. » Il fallait dire renferme. 



(**) Voyez Comptes rendus, t. XLV, année ibS^; p. 194, art. 33. 



i5i.. 



