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 secoii'l ordre; mais, d'après une propriété générale des figures iiomogra- 

 phiqnes (que nous démontrerons ailleurs), dans ces systèmes de rpiatre 

 plans, ceux de ces plans qui appartiennent à une même figure envelop- 

 pent une surface de la quatrième classe. Ici ces plans polaires sont ceux des 

 cônes. Donc, etc. 



» Théorème VIII. Quand le point dont on prend les plans polaires par rap- 

 port aux cônes appartient à la surface du quatrième ordre, ces plans passent tous 

 par un même point situé sur la surface, et enveloppent un cône de la quatrième 

 classe. 



» Ce cas particulier du théorème précédent est une conséquence d'une 

 propriété générale des surfaces du second ordre dont voici l'énoncé : Quand 

 des surfaces du second ordre divisent liarinoniquenient six segments, la surface du 

 quatrième ordre lieu des sommets des cônes qui font partie de ces surfaces, est 

 telle, que les plans polaires de clincnn de ses points, relatifs à toutes tes surfaces, 

 passent par un même point; et ce point est situé aussi sur la surface. 



n Théorème IX. Quand des- cônes du second ordre divisent hnrmonique- 

 ment sept segments, les plans polaires d'un point quelconque de l esjiace, par 

 rapport à ces cônes, enveloppent un cône de la quatrième classe. 



r> En effet, comme on l'a dit au sujet du théorème lY, les plans polai- 

 res d'un même point P passent tous par un même point P'. Les plans 

 polaires de quatre points P, Q, . . ., forment quatre figures homographi- 

 ques : et quatre plans homologues de ces quatre figures passent par 

 un même point (sommet du cône). Ceux de ces plans qui appartiennent à 

 luie même figure enveloppent donc une surface de la quatrième classe. 

 Mais tous ces plans passent par un même point P'; ils forment donc un 

 cône de quatrième classe, c. Q. F. D. 



» Dans le cas où le point P est le sommet d'un des cônes du système, 

 les plans polaires de ce point passent par une même droite. 



» On peut faire diverses hypothèses sur les segments et les points qui 

 déterminent les cônes dans tous les théorèmes précédents. Si deux des points 

 donnés sont imaginaires, à l'infini, sur un cercle imaginaire, ces pouits dé- 

 termineront sur chaque cône deux arêtes imaginaires, telles, que deux 

 droites conjuguées harmoniques par rapport à ces arêtes seront rectangu- 

 laires ; ce qui indique que le plan qui les contient est parallèle aux plans 

 d'un des deux systèmes des sections circulaires du cône; en d'autres termes, 

 que le plan qui les contient est un plan cyclique du cône. On en con- 

 clut que : 



» Théorème X. Quand des cônes du second ordre divisent liai moniquement 



