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M A I llliM.vriQL'ES. — Sur les cônes du second ordre <jiii j.asstnl par six poinls 



donnés; par M. A. Cayley 



« Dans lin Mémoire par teii ]M. Wecldle « On ilie tlieorenis in space 

 » analogous to fhose of Pascal and Brianclion in a plane » {Cainb. and Dub. 

 Math. Jotini., I. V, r85o, voir la Note p. 69), on trouve à propos d'un théo- 

 rème (le M. Cliasles la remarque (|ue le lieu du sommet d'un cône du 

 second ordre qui passe par six points donnés est une suÈ'face du quatrième 

 ordre qui contient la courbe cubique en espace par les six points. Voici 

 comment je démontre ce ihéorème : 



1' En prenant (X, Y, Z, U) pour les coordonnres courantes, (a,, jS,, •/,, 

 0*,,) . . . I ao, Psî Vei <^6) pour les coordonnées des six points donnés, et 

 {jc, j, z, u) pour ceux du sommet, je pose l'équation 



X^ 



2X 



a ) 



Qî 



U- 



111 



Ai 



TL ZX 



J 



?■'! 



X 



va 



YU ZU 



u 



J 



le '/â 



où la dernière ligne dénote les six lignes qu'on obtient en écrivant succes- 

 sivement (a,, ,3,, 7,, t?,)...(ae, PcVe, c?e) au lieu de (a, fi, 7, t?), de ma- 

 nière que la fonction au côté gauche est un déterminant de l'ordre onze : les 

 coefficients X, p., y, p sont des quantités arbitraires et les points (.) dénotent 

 des zéros. 



» Cette équation est évidemment cell*^ d'une surface du second ordre qui 

 passe par les six poii.ts, et il ne faut qu'une seule condition pour que cette 

 surface soit un cône : la condition sera 



2X 



^J 



J 



X 



2Z 



X 



2U 



<S2 



U 



X 



y 



u 



z 



o, 



c^ jS' f c?= ,S7 -p. a/3 a.à p.â y& 



où la fonction à côté gauche est de même un déterminant de l'ordre dix; 

 cette ('qualion, Inquelle est de l'ordre quatre par rapport à (.r, j, 2, «j, sera 

 celle du lieu du sommet. 



